二次函數應用思想總結（系列二十篇）

發布時間：2021-12-06

二次函數應用思想總結（系列二十篇）。

?一?二次函數應用思想總結

這一課的主題目標是讓學生在集體中能與同學互相幫助、互相學習、互相促進，交流分享、感受活動成果;能以文明禮貌的方式和同學交往;珍惜他人的勞動成果;感受多讀好書能擴大知識，因此我在設計這一課的時候是先通過學生最喜歡的活動讀書會引入，從而我進一步通過三個活動提出質疑：為什么好書要給大家看呢?(同時展示課件，成人眼中書籍的作用)

下面我想談談這節課還不足的一些地方：

首先，在這個過程中，課件中出示的一些詞句對于二年級的孩子有點難度，所以導致孩子們一知半解，讓老師牽著鼻子在走，有失于讓孩子真正成為學習的主人的理念。

其次，為充分激發孩子的興趣，讓每個孩子都積極發言，所以我制作了一些動物卡通圖片，雖然每個孩子都積極地搶答問題，也如愿得到了老師精心制作的禮物，可由于教學內容結構的需要，不可能讓每個孩子都站起來回答，導致沒有被老師叫起來回答問題的孩子感到失望，而另一些孩子干脆就把注意力集中到同學得到的禮物上，不再認真聽課，由此讓整個課堂變得吵鬧。

再者就是在引導孩子在向別人借書時應該注意些什么文明行為這個問題上，由于時間的關系，我只讓孩子回想平時你在學習生活中遇到的一些問題，而沒有讓孩子在課堂上實踐向別人去借你愛看的書中而提出問題，及時解決問題。所以一節課下來感覺很緊，導致主題沒突出。

最后一點就是在板書設計上，我只在開始板寫了：好書大家看(主題)，到最后小結時提出了學習口號：快樂地讀書，讀書真快樂!也就是在整個黑板上沒有看到一本好書，這對學生來說比較抽象，也不利于學生總結。

閱讀是一場心靈的對話。笛卡爾說：讀一本好書，就是和一位心靈高尚的人交談。因此，要找到適合學生讀的課外書籍尤為重要?？傊?，沒有課外讀物就沒有素質教育，希望所有的老師、家長共同合作，營造良好的氛圍，讓越來越多的孩子能在課外閱讀的廣闊天地里自由遨游，讓越來越多的孩子能體驗到閱讀的快樂。

?二?二次函數應用思想總結

目標：

1．使學生掌握用待定系數法由已知圖象上一個點的坐標求二次函數y＝ax2的關系式。

2. 使學生掌握用待定系數法由已知圖象上三個點的坐標求二次函數的關系式。

3．讓學生體驗二次函數的函數關系式的應用，提高學生用數學意識。

重點難點：

重點：已知二次函數圖象上一個點的坐標或三個點的坐標，分別求二次函數y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的關系式是的重點。

難點：已知圖象上三個點坐標求二次函數的關系式是教學的難點。

教學過程：

一、創設問題情境

如圖，某建筑的屋頂設計成橫截面為拋物線型(曲線AOB)的薄殼屋頂。它的拱高AB為4m，拱高CO為0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢?

分析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當的直角坐標系，再寫出函數關系式，然后根據這個關系式進行計算，放樣畫圖。

如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，以過點O的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標系。這時，屋頂的橫截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，開口向下，所以可設它的函數關系式為： y＝ax2 (a＜0) (1)

因為y軸垂直平分AB，并交AB于點C，所以CB＝AB2 ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以點B的坐標為(2，－0.8)。

因為點B在拋物線上，將它的坐標代人(1)，得－0.8＝a×22 所以a＝－0.2

因此，所求函數關系式是y＝－0.2x2。

請同學們根據這個函數關系式，畫出模板的輪廓線。

二、引申拓展

問題1：能不能以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標系?

讓學生了解建立直角坐標系的方法不是唯一的，以A點為原點，AB所在的直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標系也是可行的。

問題2，若以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂直為y軸，建立直角坐標系，你能求出其函數關系式嗎?

分析：按此方法建立直角坐標系，則A點坐標為(0，0)，B點坐標為(4，0),OC所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC＝CB，AC＝2m，O點坐標為(2；0．8)。即把問題轉化為：已知拋物線過(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三點，求這個二次函數的關系式。

二次函數的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求這個二次函數的關系式，跟以前學過求一次函數的關系式一樣，關鍵是確定o、6、c，已知三點在拋物線上，所以它的坐標必須適合所求的函數關系式；可列出三個方程，解此方程組，求出三個待定系數。

解：設所求的二次函數關系式為y＝ax2＋bx＋c。

因為OC所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，

所以O點坐標為(2，0.8)，A點坐標為(0，0)，B點坐標為(4，0)。

由已知，函數的圖象過(0，0)，可得c＝0，又由于其圖象過(2，0.8)、(4，0)，可得到4a＋2b＝0.816＋4b＝0 解這個方程組，得a＝－15b＝45 所以，所求的二次函數的關系式為y＝－15x2＋45x。

問題3：根據這個函數關系式，畫出模板的輪廓線，其圖象是否與前面所畫圖象相同?

問題4：比較兩種建立直角坐標系的方式，你認為哪種建立直角坐標系方式能使解決問題來得更簡便?為什么?

(第一種建立直角坐標系能使解決問題來得更簡便，這是因為所設函數關系式待定系數少，所求出的函數關系式簡單，相應地作圖象也容易)

請同學們閱瀆P18例7。

三、課堂練習： P18練習1．(1)、(3)2。

四、綜合運用

例1．如圖所示，求二次函數的關系式。

分析：觀察圖象可知，A點坐標是(8，0)，C點坐標為(0，4)。從圖中可知對稱軸是直線x＝3，由于拋物線是關于對稱軸的軸對稱圖形，所以此拋物線在x軸上的另一交點B的坐標是(－2，0)，問題轉化為已知三點求函數關系式。

解：觀察圖象可知，A、C兩點的坐標分別是(8，0)、(0，4)，對稱軸是直線x＝3。因為對稱軸是直線x＝3，所以B點坐標為(－2，0)。

設所求二次函數為y＝ax2＋bx＋c，由已知，這個圖象經過點(0，4)，可以得到c＝4，又由于其圖象過(8，0)、(－2，0)兩點，可以得到64a＋8b＝－44a－2b＝－4 解這個方程組，得a＝－14b＝32

所以，所求二次函數的關系式是y＝－14x2＋32x＋4

練習：一條拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點(0，0)與(12，0)，最高點的縱坐標是3，求這條拋物線的解析式。

五、小結：

二次函數的關系式有幾種形式，函數的關系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一種常見的形式。二次函數關系式的確定，關鍵在于求出三個待定系數a、b、c，由于已知三點坐標必須適合所求的函數關系式，故可列出三個方程，求出三個待定系數。

六、作業

1．P19習題 26．2 4．(1)、(3)、5。

2．選用課時作業優化設計，

?三?二次函數應用思想總結

【學習目標】

1學會本課五個生字，會寫11個生字。正確讀寫引人注意、均勻、重疊、空隙等詞語。

2正確流利有感情地朗讀課文，背誦全文。

3了解爬山虎的特點，理清課文的敘述順序。

4自覺運用抓重點詞句、聯系生活實際等閱讀方法讀懂課文。

5學習作者細心觀察、連續觀察的方法，激發留心周圍事物的興趣。

【重點難點】

1爬山虎是怎樣一腳一腳往上爬的?(難點)

2領悟作者細心觀察、連續觀察的方法。(重點)

3把觀察到的事物具體地、有順序地寫下來。

【教學過程】

第一課時

一、課前游戲，激疑激趣

1.同學們喜歡猜謎語嗎?今天，老師就給大家猜兩條謎語，看誰猜得又對又快。

第一條：上搭架，下搭架，串串珍珠藤上掛。打一種植物，是什么?(葡萄)

第二條，上搭架，下搭架，開黃花，條條青龍藤上掛。也打一種植物。(絲瓜)

2.如果種葡萄和絲瓜啊，還要做一項特殊的工作，什么工作?(要給他們搭架子。)

不搭架子行不行?(不行，不搭架子，他們就沒法兒往上爬了)

二、揭示課題，感知文題

過渡：剛才我們都知道了，葡萄和絲瓜都是靠搭架子才能往高處攀援的植物。而爬山虎呢，也是一種攀援植物，可它不用搭架子也能往高處爬，這是為什么呢?今天，我們就來學習第6課。(板書課題)

誰知道老師為什么把腳這個字寫得這么大嗎?那按照他這個意思，這題目該怎么讀呢?指名讀。

老師把腳這個字寫這么大，還有沒有別的原因呢?相信學習了這篇課文，你會有新的理解。

三、交流預習，理清脈絡

(一)交流對爬山虎腳的初步了解

1.學生交流：課前，通過預習，你們對爬山虎的腳有了哪些了解?你是怎么知道的?(學生介紹)

2.教師參與：課前，老師也了解了爬山虎的腳，我還從這本書(出示《十萬個為什么》)中了解到，爬山虎的腳其實是它的另一種根，因為它生長在空氣中，所以叫氣生根。你看，老師這是怎么了解的?觀察、讀課外書、查找資料都是預習的一些好的方法啊。我們運用這些方法都對爬山虎的腳有了一些了解。那么，葉圣陶爺爺他是怎樣寫爬山虎的腳的呢?請同學們看第6課。

(二)初讀感知，讀準詞語

1.檢查字詞。出示課后生字，指名讀。

2.出示：嫩莖一順兒漾起波紋

觸著墻痕跡蛟龍

強調多音字及兒化音的讀法。

3.快速讀讀課文，看一看課文哪幾個自然段講的是爬山虎的腳呢?

(1)誰知道課文哪幾個自然段講的是爬山虎的腳?(3.4.5)

(2)課文除了講爬山虎的腳，還講了什么?(葉子)

四、以讀代講第二自然段

1.自讀一讀第二自然段。注意：在這一段中有一句話非常重要，從這句話中我們就能知道這一段重點講的是什么?請同學們一邊讀一邊把這句話畫下來。

2.出示：爬山虎的嫩葉不大引人注意，引人注意的是長大了的葉子。

(1)你能從這句話里讀出這一段重點講的什么嗎?(長大了的葉子)

(2)你從哪兒看出來的?(引人注意)

3.再讀讀這段話，看哪幾句話具體講的是長大了的葉子?(3.4.5句)

4.那誰能通過朗讀把這些引人注意的地方表現出來呢?(學生練讀)

(1)指名讀。(學生評議)

(2)欣賞爬山虎葉子畫面，聽老師讀。

(3)指名讀。老師給你配上一段優美的音樂。讓你來美美地讀一讀，其他同學一起來美美的感受一下那些引人注意的長大了葉子。

(這位同學讀的時候，聲音和感情都非常豐富，這可以用一個四字的詞來形容。哪個詞?聲情并茂。讀書就應該這樣去讀。)

過渡：剛才我們一起欣賞了爬山虎長大了的葉子。那么爬山虎的腳又是什么樣呢?

五、讀文畫圖，自主學習爬山虎的腳

(一)讀文畫句

默讀第三自然段，畫出寫腳的有關句子。學生讀句子后，課件出示：

爬山虎的腳長在莖上。莖上長葉柄的地方，反面伸出枝狀的六七根細絲，每根細絲像蝸牛的觸角。細絲跟新葉子一樣，也是嫩紅的。這就是爬山虎的腳。

(二)讀文畫腳

1.教師板畫，提出要求。

教師在黑板上畫出爬山虎的一根莖和兩三片嫩葉。

提出要求：請同學們認真默讀寫腳的句子，注意

要讀懂每一句話的意思。讀完之后，請同學們根據這一

部分內容在黑板上畫出爬山虎的腳。

2.學生讀書思考。

3.指名到黑板上畫腳。

①選顏色：老師這兒有紅、黃、綠三支粉筆，請一位同學選擇一種顏色來畫。

方案一：學生選擇的是紅色

說明這位學生認真讀書了，而且讀懂了書上寫顏色的句子。教師可請學生說說為什么選擇紅色。(說課文依據)

方案二：學生選的不是紅色

教師不能簡單地否定，而是把學生出現的這一偏差點作為有利的訓練點在學生評議時進行強化訓練，從中培養學生的讀書能力和閱讀習慣。

②畫腳。學生在老師畫的莖、葉上畫出爬山虎的腳。

③全班評議。學生再讀書，以課文為依據，對照同學畫的腳進行評議，糾正錯誤。重點理解以下幾點：

位置：莖上長葉柄的地方，反面

形狀：枝狀的六七根細絲，每根細絲像蝸牛的觸角。

顏色：細絲跟新葉子一樣，也是嫩紅的。

方案一：學生畫得不對

請學生評議，主動發現問題并在黑板上改正畫錯的部分，結合課文內容說一說為什么這樣畫。

方案二：腳的位置畫錯了

腳的位置是理解的難點，學生如果發現把腳的位置畫錯了，但又不知道畫哪兒更準確，教師可引導學生再讀一讀寫腳的位置的句子，對照圖文評議、理解、感悟。

小結：是啊!只有認真讀書，才能讀懂每一句話的意思。

4.組合朗讀。咱們這樣來讀：

第一組讀黃色部分，這部分寫的是

第二組讀藍色部分，這一部分是

第三組讀紅色部分，這部分寫的是

最后一句大家一齊讀。

過渡：你們看，葉圣陶爺爺寫得多清楚啊!這一段，通過同學們認真讀書，自己就讀懂了爬山虎腳的位置、形狀、顏色。那第四自然段呢?也請同學們這樣認真去讀，看看這一段，你們能知道什么?

六、品詞析句，探究體驗，理解爬山虎是怎樣爬的

(一)了解爬山虎是怎樣爬的

1.讀第四自然段，看你知道了什么?(爬山虎是怎樣爬的)

2.爬山虎是怎樣爬的，讀有關句子。

課件出示：爬山虎的腳觸著墻的時候，六七根細絲的頭上就變成小圓片巴住墻。細絲原先是直的，現在彎曲了，把爬山虎的嫩莖拉一把，使它緊貼在墻上。爬山虎就這樣一腳一腳地往上爬。

3.爬山虎究竟是怎樣爬的呢?老師通過讀爬山虎的腳觸著墻的時候這一部分，抓住了關于爬山虎爬的一個重點詞觸。請同學們像老師這樣再讀讀后面的句子，想一想，還應畫出哪些重點詞，就能看出爬山虎是怎樣爬的了。

課件出示：(觸)()()()()()

4.學生評議。

方案一：說得不對

請學生再讀文并調整詞序。

變彎

觸巴拉貼

方案二：學生漏掉變和彎

教師引導學生分別討論去掉變、彎行不行，為什么?

小結：這些動作前后之間的聯系都是非常緊密的，而且是有序的。

5.體會朗讀。注意：只要讀好這些詞，就能突出爬山虎是怎樣爬的了?教師指導重點詞的讀法。

(二)看畫面配解說

那爬山虎是不是這樣爬的呢?

(1)放動畫。你們注意了嗎?這個畫面和電視上的畫面比起來，是不是少點什么?

(2)給畫面配解說詞。不過，解說要講究方法的，就是屏幕上演什么，我們就說什么。解說一定要與畫面同步進行。(試說后指名說)

(三)質疑問難

學到這兒，還有沒有不懂的問題?

(學生質疑：①為什么用一腳一腳而不用一步一步?換成一步一步行不行?②爬山虎是怎樣一腳一腳往上爬的?)

(四)解決問題

1.為什么用一腳一腳而不用一步一步?換成一步一步行不行?

方案一：可以用一步一步

學生認為：可以用一步一步，一腳一腳就是一步一步的意思。此時教師不動聲色，請其他學生發表自己不同的見解。

方案二：理解一腳一腳和一步一步

學生認為：一步一步是用腳交替著爬。而一腳一腳的爬是指長一只腳就巴住墻，再爬，必須再長出一只新腳再巴住墻。教師請學生動作演示，進一步理解爬山虎一腳一腳是怎樣爬的。

2.教師板畫描述啟發：爬山虎并不像動物那樣用腳交替著往上爬，而是長一只腳就巴住墻。爬山虎要想往高處爬，就要不斷地長出新腳。

3.在這兒，葉圣陶老爺爺不用一步一步而用一腳一腳，你能體會出什么?

(葉圣陶老爺爺連續觀察、細致觀察、用詞非常恰當。)

小結：體會葉圣陶老爺爺作了連續觀察，觀察細致，用詞準確。

七、交流爬山虎腳的變化

(一)自由讀第五自然段，思考：這一自然段主要講的什么?

(板書：萎了牢固)

(二)教師小結：第五自然段主要講爬山虎的腳觸著墻和沒觸著墻的變化。

八、回歸整體，領悟方法

這篇課文圍繞爬山虎的腳，先講爬山虎腳的位置形狀顏色;又講了爬山虎是怎樣爬的;最后講了爬山虎的腳沒觸著墻就萎了和觸著墻的巴在墻上相當牢固。

1.回歸課題。學到這里，我們再來看看課題，老師為什么把腳這個字寫得這么大，現在你有沒有新的理解和認識?(這腳在爬山虎身上可起著重要作用，如果沒有腳爬山虎就沒法往上爬了!)

2.如果我們也像葉圣陶爺爺一樣去了解爬山虎的腳，觀察一次行嗎?觀察一天行嗎?

3.小結：是啊!葉圣陶老爺爺對爬山虎的腳不光進行了細致觀察，而且經過了長期的觀察，否則不可能寫得這么清楚。這正是我們所要努力學習的。

?四?二次函數應用思想總結

目標設計

1.知識與技能：通過本節學習，鞏固二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質，理解頂點與最值的關系，會用頂點的性質求解最值問題。

能力訓練要求

1、能夠分析實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最大（?。┲蛋l展學生解決問題的能力，學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題。

2、通過觀察圖象，理解頂點的特殊性，會把實際問題中的最值轉化為二次函數的最值問題，通過動手動腦，提高分析解決問題的能力，并體會一般與特殊的關系，培養數形結合思想，函數思想。

情感與價值觀要求

1、在進行探索的活動過程中發展學生的探究意識，逐步養成合作交流的習慣。

2、培養學生學以致用的習慣，體會體會數學在生活中廣泛的應用價值，激發學生學習數學的興趣、增強自信心。

方法設計

由于本節課是應用問題，重在通過學習總結解決問題的方法，故而本節課以“啟發探究式”為主線開展教學活動，解決問題以學生動手動腦探究為主，必要時加以小組合作討論，充分調動學生學習積極性和主動性，突出學生的主體地位，達到“不但使學生學會，而且使學生會學”的目的。為了提高課堂效率，展示學生的學習效果，適當地輔以電腦多媒體技術。

教學過程

導學提綱

設計思路：最值問題又是生活中利用二次函數知識解決最常見、最有實際應用價值的問題之一，它生活背景豐富，學生比較感興趣，對九年級學生來說，在學習了一次函數和二次函數圖象與性質以后，對函數的思想已有初步認識，對分析問題的方法已會初步模仿，能識別圖象的增減性和最值，但在變量超過兩個的實際問題中，還不能熟練地應用知識解決問題，而面積問題學生易于理解和接受，故而在這兒作此調整，為求解最大利潤等問題奠定基礎。從而進一步培養學生利用所學知識構建數學模型，解決實際問題的能力，這也符合新課標中知識與技能呈螺旋式上升的規律。目的在于讓學生通過掌握求面積最大這一類題，學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題，此部分內容既是學習一次函數及其應用后的鞏固與延伸，又為高中乃至以后學習更多函數打下堅實的理論和思想方法基礎。

（一）前情回顧：

1.復習二次函數y＝ax2+bx＋c（a≠0）的圖象、頂點坐標、對稱軸和最值

2.（1）求函數y＝x2+ 2x－3的最值。

（2）求函數y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）

3、拋物線在什么位置取最值？

（二）適當點撥，自主探究

1.在創設情境中發現問題

請你畫一個周長為40厘米的矩形，算算它的面積是多少？再和同學比比，發現了什么？誰的面積最大？

2、在解決問題中找出方法

某工廠為了存放材料，需要圍一個周長40米的矩形場地，問矩形的長和寬各取多少米，才能使存放場地的面積最大？

（問題設計思路：把前面矩形的周長40厘米改為40米，變成一個實際問題，目的在于讓學生體會其應用價值??我們要學有用的數學知識。學生在前面探究問題時，已經發現了面積不唯一，并急于找出最大的，而且要有理論依據，這樣首先要建立函數模型，合作探究中在選取變量時學生可能會有困難，這時教師要引導學生關注哪兩個變量，就把其中的一個主要變量設為x，另一個設為y，其它變量用含x的代數式表示，找等量關系，建立函數模型，實際問題還要考慮定義域，畫圖象觀察最值點，這樣一步步突破難點，從而讓學生在不斷探究中悟出利用函數知識解決問題的一套思路和方法，而不是為了做題而做題，為以后的學習奠定思想方法基礎。）

3、在鞏固與應用中提高技能

例1：小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環境，小明的爸爸準備靠墻修建一個矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準備作為花圃的圍欄（如圖所示），花圃的寬AD究竟應為多少米才能使花圃的面積最大？

（設計思路：例1的設計也是尋找了學生熟悉的家門口的生活背景，從知識的角度來看，求矩形面積也較容易，我在此設計了一個條件墻長10米來限制定義域，目的在于告訴學生一個道理，數學不能脫離生活實際，估計大部分學生在求解時還會在頂點處找最值，導致錯解，此時教師再提醒學生通過畫函數的圖象輔助觀察、理解最值的實際意義，體會頂點與端點的不同作用，加深對知識的理解，做到數與形的完美結合，通過此題的有意訓練，學生必然會對定義域的意義有更加深刻的理解，這樣既培養了學生思維的嚴密性，又為今后能靈活地運用知識解決問題奠定了堅實的基礎。）

解：設垂直于墻的邊AD=x米，則AB=（32-2x）米，設矩形面積為y米2，得到：

Y=x（32-2x）= -2x2+32x

［錯解］由頂點公式得：

x=8米時，y最大=128米2

而實際上定義域為11≤x ?16，由圖象或增減性可知x=11米時， y最大=110米2

（三）總結交流：

（1）同學們經歷剛才的探究過程，想想解決此類問題的思路是什么？.

引導學生分析解題循環圖：

（2）在探究發現這些判定方法的過程中運用了什么樣的數學方法？

（四）掌握應用：

圖中窗戶邊框的上半部分是由四個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形。如果制作一個窗戶邊框的材料總長為15米，那么如何設計這個窗戶邊框的尺寸，使透光面積最大(結果精確到0.01m2)?（設計思路：先出示如圖圖形，然后引伸到課本中的圖形，讓學生有一個思考遞進的空間。）

（五）我來試一試：

如圖在Rt△ABC中，點P在斜邊AB上移動，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分別為垂足，已知AC=1，AB=2，求：

（1）何時矩形PMCN的面積最大，把最大面積是多少？

（2）當AM平分∠CAB時，矩形PMCN的面積.

（六）智力闖關：

如圖，用長20cm的籬笆，一面靠墻圍成一個長方形的園子，怎樣圍才能使園子的面積最大？最大面積是多少？

作業：課本隨堂練習、習題1，2，3

板書設計

二次函數的應用??面積最大問題

課后反思

二次函數的應用本身是學習二次函數的圖象與性質后，檢驗學生應用所學知識解決實際問題能力的一個綜合考查。新課標中要求學生能通過對實際問題的情境的分析確定二次函數的表達式，體會其意義，能根據圖象的性質解決簡單的實際問題。本節課充分運用導學提綱，教師提前通過一系列問題串的設置，引導學生課前預習，在課堂上通過對一系列問題串的解決與交流，讓學生通過掌握求面積最大這一類題，學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題。

教材中設計先探索最大利潤問題，對九年級學生來說，在學習了一次函數和二次函數圖象與性質以后，對函數的思想已有初步認識，對分析問題的方法已會初步模仿，能識別圖象的增減性和最值，但在變量超過兩個的實際問題中，還不能熟練地應用知識解決問題，而面積問題學生易于理解和接受，故而在這兒作此調整，為求解最大利潤等問題奠定基礎。從而進一步培養學生利用所學知識構建數學模型，解決實際問題的能力，這也符合新課標中知識與技能呈螺旋式上升的規律。所以在例題的處理中適當的降低了梯度，讓學生思維有一個拓展的空間，也有收獲快樂和成就感。在訓練的過程中，通過學生的獨立思考與小組合作探究相結合，使學生的分析能力、表達能力及思維能力都得到訓練和提高。同時也注重對解題方法與解題模式的歸納與總結，并適當地滲透轉化、化歸、數形結合等數學思想方法。

?五?二次函數應用思想總結

二次函數的教學設計

教學內容：人教版九年義務教育初中第三冊第108頁

教學目標：

1。 1。理解二次函數的意義；會用描點法畫出函數y=ax2的圖象，知道拋物線的有關概念；

2。 2。通過變式教學，培養學生思維的敏捷性、廣闊性、深刻性；

3。 3。通過二次函數的教學讓學生進一步體會研究函數的一般方法；加深對于數形結合思想認識。

教學重點：二次函數的意義；會畫二次函數圖象。

教學難點：描點法畫二次函數y=ax2的圖象，數與形相互聯系。

教學過程設計：

一創設情景、建模引入

我們已學習了正比例函數及一次函數，現在來看看下面幾個例子：

1。寫出圓的半徑是R（CM），它的面積S（CM2）與R的關系式

答：S=πR2。 ①

2。寫出用總長為60M的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S（M2）與矩形一邊長L（M）之間的關系

答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

分析：①②兩個關系式中S與R、L之間是否存在函數關系？

S是否是R、L的一次函數？

由于①②兩個關系式中S不是R、L的一次函數，那么S是R、L的什么函數呢？這樣的函數大家能不能猜想一下它叫什么函數呢？

答：二次函數。

這一節課我們將研究二次函數的有關知識。（板書課題）

二歸納抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0) ，

那么，y叫做x的二次函數。

注意：(1)必須a≠0，否則就不是二次函數了。而b，c兩數可以是零。(2) 由于二次函數的解析式是整式的形式，所以x的取值范圍是任意實數。

練習：1。舉例子：請同學舉一些二次函數的例子，全班同學判斷是否正確。

2。出難題：請同學給大家出示一個函數，請同學判斷是否是二次函數。

（若學生考慮不全，教師給予補充。如：；；；的形式。）

（通過學生觀察、歸納定義加深對概念的理解，既培養了學生的實踐能力，有培養了學生的探究精神。并通過開放性的練習培養學生思維的發散性、開放性。題目用了一些人性化的詞語，也增添了課堂的趣味性。）

由前面一次函數的學習，我們已經知道研究函數一般應按照定義、圖象、性質、求解析式幾個方面進行研究。二次函數我們也會按照定義、圖象、性質、求解析式幾個方面進行研究。

（在這里指出學習函數的一般方法，旨在及時進行學法指導；并將此方法形成技能，以指導今后的學習；進一步培養終身學習的能力。）

三嘗試模仿、鞏固提高

讓我們先從最簡單的二次函數y=ax2入手展開研究

1。 1。嘗試：大家知道一次函數的圖象是一條直線，那么二次函數的圖象是什么呢？

請同學們畫出函數y=x2的圖象。

（學生分別畫圖，教師巡視了解情況。）

2。 2。模仿鞏固：教師將了解到的各種不同圖象用實物投影向大家展示，到底哪一個對呢？下面師生共同畫出函數y=x2的圖象。

解：一、列表：

-3

-2

-1

Y=x2

二、描點、連線：按照表格，描出各點。然后用光滑的曲線，按照x(點的橫坐標)由小到大的順序把各點連結起來。

對照教師畫的圖象一一分析學生所畫圖象的正誤及原因，從而得到畫二次函數圖象的幾點注意。

練習：畫出函數;的圖象（請兩個同學板演）

-3

-2

-1

Y=0。5X2

4。5

0。5

4。5

Y=-X2

-9

-4

-1

-4

-9

畫好之后教師根據情況講評，并引導學生觀察圖象形狀得出：二次函數 y=ax2的圖象是一條拋物線。

（這里，教師在學生自己探索嘗試的基礎上，示范畫圖象的方法和過程，希望學生學會畫圖象的方法；并及時安排練習鞏固剛剛學到的新知識，通過觀察，感悟拋物線名稱的由來。）

三運用新知、變式探究

畫出函數 y=5x2圖象

學生在畫圖象的過程當中遇到函數值較大的困難，不知如何是好。

-0。5

-0。4

-0。3

-0。2

-0。1

0。1

0。2

0。3

0。4

0。5

Y=5x2

1。25

0。8

0。45

0。2

0。05

0。2

0。45

0。8

1。25

教師出示已畫好的圖象讓學生觀察

注意：1。畫圖象應描7個左右的點，描的點越多圖象越準確。

2。自變量X的取值應注意關于Y軸對稱。

3。對于不同的二次函數自變量X的取值應更加靈活，例如可以取分數。

四。四。歸納小結、延續探究

教師引導學生觀察表格及圖象，歸納y=ax2的性質，學生們暢所欲言，各抒己見；互相改進，互相完善。最終得到如下性質：

一般的，二次函數y=ax2的圖象是一條拋物線，對稱軸是Y軸，頂點是坐標原點；當a＞0時，圖象的開口向上，最低點為(0，0)；當a＜0時，圖象的開口向下，最高點為(0，0)。

五回顧反思、總結收獲

在這一環節中，教師請同學們回顧一節課的學習暢談自己的收獲或多、或少、或幾點、或全面，總之是人人有所得，個個有提高。這也正是新課標中所倡導的新的理念——不同的人在數學上得到不同的發展。

（在整個一節課上，基本上是學生講為主，教師講為輔。一些較為困難的問題，我也鼓勵學生大膽思考，積極嘗試，不怕困難，一個人完不成，講不透，第二個人、第三個人補充，直到完成整個例題。這樣上課氣氛非?；钴S，學生之間常會因為某個觀點的不同而爭論，這就給教師提出了更高的要求，一方面要控制好整節課的節奏，另一方面又要察言觀色，適時地對某些觀點作出判斷，或與學生一同討論。）

?六?二次函數應用思想總結

〖大綱要求

1．理解二次函數的概念；

2．會把二次函數的一般式化為頂點式，確定圖象的頂點坐標、對稱軸和開口方向，會用描點法畫二次函數的圖象；

3．會平移二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象得到二次函數y＝a(ax＋m)2＋k的圖象，了解特殊與一般相互聯系和轉化的思想；

4．會用待定系數法求二次函數的解析式；

5．利用二次函數的圖象，了解二次函數的增減性，會求二次函數的圖象與x軸的交點坐標和函數的最大值、最小值，了解二次函數與一元二次方程和不等式之間的聯系。

內容

（1）二次函數及其圖象

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0),那么，y叫做x的二次函數。

二次函數的圖象是拋物線，可用描點法畫出二次函數的圖象。

（2）拋物線的頂點、對稱軸和開口方向

拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點是，對稱軸是，當a>0時，拋物線開口向上，當a<0時，拋物線開口向下。

拋物線y=a（x+h）2+k(a≠0)的頂點是（-h，k），對稱軸是x=-h.

〖考查重點與常見題型

1．考查二次函數的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：

已知以x為自變量的二次函數y＝(m－2)x2＋m2－m－2額圖像經過原點，

則m的值是

2．綜合考查正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內考查兩個函數的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，如果函數y＝kx＋b的圖像在第一、二、三象限內，那么函數

y＝kx2＋bx－1的圖像大致是（）

y y y y

1 1

0 x o-1 x 0 x 0 -1 x

A B C D

3．考查用待定系數法求二次函數的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：

已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為x＝，求這條拋物線的.解析式。

4．考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數的極值，有關試題為解答題，如：

已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

5．考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。

習題1:

一、填空題：（每小題3分，共30分）

1、已知A（3，6）在第一象限，則點B（3，－6）在第象限

2、對于y＝－，當x＞0時，y隨x的增大而

3、二次函數y＝x2＋x－5取最小值是，自變量x的值是

4、拋物線y＝（x－1）2－7的對稱軸是直線x＝

5、直線y＝－5x－8在y軸上的截距是

6、函數y＝中，自變量x的取值范圍是

7、若函數y＝（m＋1）xm2＋3m＋1是反比例函數，則m的值為

8、在公式＝b中，如果b是已知數，則a＝

9、已知關于x的一次函數y＝（m－1）x＋7，如果y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是

10、某鄉糧食總產值為m噸，那么該鄉每人平均擁有糧食y（噸），與該鄉人口數x的函數關系式是

二、選擇題：（每題3分，共30分）

11、函數y＝中，自變量x的取值范圍（）

(A)x＞5 (B)x＜5 (C)x≤5 (D)x≥5

12、拋物線y＝（x＋3）2－2的頂點在（）

(A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

13、拋物線y＝（x－1）（x－2）與坐標軸交點的個數為（）

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

14、下列各圖中能表示函數和在同一坐標系中的圖象大致是（）

(A) (B) (C) (D)

15．平面三角坐標系內與點（3，－5）關于y軸對稱點的坐標為（）

（A）（－3,5）（B）（3,5）（C）（－3，－5）（D）（3，－5）

16．下列拋物線，對稱軸是直線x＝的是（）

（A） y＝x2（B）y＝x2＋2x（C）y＝x2＋x＋2（D）y＝x2－x－2

17．函數y＝中，x的取值范圍是（）

（A）x≠0 （B）x＞（C）x≠ （D）x＜

18．已知A（0,0），B（3,2）兩點，則經過A、B兩點的直線是（）

（A）y＝x （B）y＝x （C）y＝3x （D）y＝x＋1

19．不論m為何實數，直線y＝x＋2m與y＝－x＋4 的交點不可能在（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

20．某幢建筑物，從10米高的窗口A用水管和向外噴水，噴的水流呈拋物線（拋物線所在平面與墻面垂直，（如圖）如果拋物線的最高點M離墻1米，離地面米，則水流下落點B離墻距離OB是（）

（A）2米（B）3米（C）4米（D）5米

?七?二次函數應用思想總結

〖大綱要求〗

1．理解二次函數的概念；

2．會把二次函數的一般式化為頂點式，確定圖象的頂點坐標、對稱軸和開口方向，會用描點法畫二次函數的圖象；

3．會平移二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象得到二次函數y＝a(ax＋m)2＋k的圖象，了解特殊與一般相互聯系和轉化的思想；

4．會用待定系數法求二次函數的解析式；

5．利用二次函數的圖象，了解二次函數的增減性，會求二次函數的圖象與x軸的交點坐標和函數的最大值、最小值，了解二次函數與一元二次方程和不等式之間的聯系，數學教案－二次函數。

內容

（1）二次函數及其圖象

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0),那么，y叫做x的二次函數。

二次函數的圖象是拋物線，可用描點法畫出二次函數的圖象。

（2）拋物線的頂點、對稱軸和開口方向

拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點是（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

（A）2米（B）3米（C）4米（D）5米

三．解答下列各題（21題6分，22----25每題4分，26-----28每題6分，共40分）

21．已知：直線ｙ＝ｘ＋ｋ過點A（4，－3）。（1）求ｋ的值；（2）判斷點B（－2，－6）是否在這條直線上；（3）指出這條直線不過哪個象限。

22．已知拋物線經過A（0，3），B（4,6）兩點，對稱軸為ｘ＝，

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）試證明這條拋物線與X軸的兩個交點中，必有一點C，使得對于ｘ軸上任意一點D都有AC＋BC≤AD＋BD。

23．已知：金屬棒的長1是溫度ｔ的一次函數，現有一根金屬棒，在O℃時長度為200ｃｍ，溫度提高1℃，它就伸長0.002ｃｍ。

（1）求這根金屬棒長度ｌ與溫度ｔ的函數關系式；

（2）當溫度為100℃時，求這根金屬棒的長度；

（3）當這根金屬棒加熱后長度伸長到201.6ｃｍ時，求這時金屬棒的溫度。

24．已知ｘ1，ｘ2，是關于ｘ的方程ｘ2－3ｘ＋ｍ＝0的兩個不同的實數根，設ｓ＝ｘ12＋ｘ22

（1）求S關于ｍ的解析式；并求ｍ的取值范圍；

（2）當函數值ｓ＝7時，求ｘ13＋8ｘ2的值；

25．已知拋物線ｙ＝ｘ2－（ａ＋2）ｘ＋9頂點在坐標軸上，求ａ的值。

２６、如圖，在直角梯形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｄ＝Ｒｔ∠，截?。粒牛剑拢疲剑模牵剑?，已知ＡＢ＝６，ＣＤ＝３，ＡＤ＝４，求：

（１）四邊形ＣＧＥＦ的面積Ｓ關于ｘ的函數表達式和Ｘ的取值范圍；

（２）當ｘ為何值時，Ｓ的數值是ｘ的４倍。

２７、國家對某種產品的稅收標準原定每銷售１００元需繳稅８元（即稅率為８％），臺洲經濟開發區某工廠計劃銷售這種產品ｍ噸，每噸２０００元。國家為了減輕工人負擔，將稅收調整為每１００元繳稅（８－ｘ）元（即稅率為（８－ｘ）％），這樣工廠擴大了生產，實際銷售比原計劃增加２ｘ％。

（１）寫出調整后稅款ｙ（元）與ｘ的函數關系式，指出ｘ的取值范圍；

（２）要使調整后稅款等于原計劃稅款（銷售ｍ噸，稅率為８％）的７８％，求ｘ的值．

２８、已知拋物線ｙ＝ｘ２＋（２－ｍ）ｘ－２ｍ（ｍ≠２）與ｙ軸的交點為Ａ，與ｘ軸的交點為Ｂ，Ｃ（Ｂ點在Ｃ點左邊）

（１）寫出Ａ，Ｂ，Ｃ三點的坐標；

（２）設ｍ＝ａ２－２ａ＋４試問是否存在實數ａ，使△ＡＢＣ為Ｒｔ△？若存在，求出ａ的值，若不存在，請說明理由；

（３）設ｍ＝ａ２－２ａ＋４，當∠ＢＡＣ最大時，求實數ａ的值。

習題2:

一．填空（20分）

1．二次函數=2（x - ）2 +1圖象的對稱軸是。

2．函數y= 的自變量的取值范圍是。

3．若一次函數y=（m-3）x+m+1的圖象過一、二、四象限，則的取值范圍是。

4．已知關于的二次函數圖象頂點（1，-1），且圖象過點（0，-3），則這個二次函數解析式為。

5．若y與x2成反比例，位于第四象限的一點P（a，b）在這個函數圖象上，且a,b是方程x2-x -12=0的兩根，則這個函數的關系式。

6．已知點P（1，a）在反比例函數y= （k≠0）的圖象上，其中a=m2+2m+3（m為實數），則這個函數圖象在第象限。

7． x,y滿足等式x= ，把y寫成x的函數，其中自變量x的取值范圍是。

8．二次函數y=ax2+bx+c+（a 0）的圖象如圖，則點P（2a-3，b+2）

在坐標系中位于第象限

9．二次函數y=（x-1）2+（x-3）2，當x= 時，達到最小值。

10．拋物線y=x2-（2m-1）x- 6m與x軸交于（x1，0）和（x2，0）兩點，已知x1x2=x1+x2+49，要使拋物線經過原點，應將它向右平移個單位。

二．選擇題（30分）

11．拋物線y=x2+6x+8與y軸交點坐標（）

（A）（0，8）（B）（0，-8）（C）（0，6）（D）（-2，0）（-4，0）

12．拋物線y=- （x+1）2+3的頂點坐標（）

（A）（1，3）（B）（1，-3）（C）（-1，-3）（D）（-1，3）

13．如圖，如果函數y=kx+b的圖象在第一、二、三象限，那么函數y=kx2+bx-1的圖象大致是（）

14．函數y= 的自變量x的取值范圍是（）

（A）x 2 （B）x- 2且x 1 （D）x 2且x –1

15．把拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得拋物線的解析式是（）

（A）=3（x+3）2 -2 （B）=3（x+2）2+2 （C）=3（x-3）2 -2 （D）=3（x-3）2+2

16．已知拋物線=x2+2mx+m -7與x軸的兩個交點在點（1，0）兩旁，則關于x的方程 x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情況是（）

（A）有兩個正根（B）有兩個負數根（C）有一正根和一個負根（D）無實根

17．函數y=- x的圖象與圖象y=x+1的交點在（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

18．如果以y軸為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象，如圖，

則代數式b+c-a與0的關系（）

（A）b+c-a=0 （B）b+c-a>0 （C）b+c-a

19．已知：二直線y=- x +6和y=x - 2，它們與y軸所圍成的三角形的面積為（）

（A）6 （B）10 （C）20 （D）12

20．某學生從家里去學校，開始時勻速跑步前進，跑累了后，再勻速步行余下的路程，初中數學教案《數學教案－二次函數》。下圖所示圖中，橫軸表示該生從家里出發的時間t，縱軸表示離學校的路程s，則路程s與時間t之間的函數關系的圖象大致是（）

三．解答題（21~23每題5分，24~28每題7分，共50分）

21．已知拋物線y=ax2+bx+c（a 0）與x軸的兩交點的橫坐標分別是-1和3，與y軸交點的縱坐標是- ；

（1）確定拋物線的解析式；

（2）用配方法確定拋物線的開口方向，對稱軸和頂點坐標。

22、如圖拋物線與直線都經過坐標軸的正半軸上A，B兩點，該拋物線的對稱軸x=—1，與x軸交于點C,且∠ABC=90°求：

(1)直線AB的解析式；

(2)拋物線的解析式。

23、某商場銷售一批名脾襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施．經調查發現每件襯衫降價1元，商場平均每天可多售出2件：

(1)若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫要降價多少元，

(2)每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多?

24、已知：二次函數和的圖象都經過x軸上兩個不同的點M、N，求a、b的值。

25、如圖，已知⊿ABC是邊長為4的正三角形，AB在x軸上，點C在第一象限，AC與y軸交于點D，點A的坐標為{—1，0)，求

(1)B，C，D三點的坐標；

(2)拋物線經過B，C，D三點，求它的解析式；

(3)過點D作DE∥AB交過B，C，D三點的拋物線于E，求DE的長。

26 某市電力公司為了鼓勵居民用電，采用分段計費的方法計算電費：每月用電不超100度

時，按每度0．57元計費：每月用電超過100度時．其中的100度仍按原標準收費，超過部分按每度0．50元計費。

(1)設月用電x度時，應交電費y元，當x≤100和x>100時，分別寫出y關于x的函數

關系式；

(1)求證；不論m取何值，拋物線與x軸必有兩個交點，并且有一個交點是A(2，0)；

(2)設拋物線與x軸的另一個交點為B，AB的長為d，求d與m之間的函數關系式；

(3)設d=10，P(a，b)為拋物線上一點：

①當⊿AＢＰ是直角三角形時，求b的值；

②當⊿ABＰ是銳角三角形，鈍角三角形時，分別寫出b的取值范圍(第2題不要求寫出過程)

28、已知二次函數的圖象與x軸的交點為A，B(點Ｂ在點A的右邊)，與y軸的交點為C；

(1)若⊿ABC為Rt⊿，求m的值；

(1)在⊿ABC中，若AC=ＢＣ，求sin∠ACB的值；

(3)設⊿ABC的面積為S，求當m為何值時，s有最小值．并求這個最小值。

?八?二次函數應用思想總結

1.說教材

本節內容是人民教育出版社出版的九年級《數學》下第26章第一節第二課時的內容。在此之前，學生已學習了二次函數的概念，對于函數的積累知識有一次函數和反比例函數。本節內容是對二次函數圖像及其性質的學習，是后續研究二次函數圖像的變換的基礎。二次函數在初中函數的教學中有重要地位，它不僅是初中代數內容的引申，也是初中數學教學的重點和難點之一，更為高中學習一元二次不等式和圓錐曲線奠定基礎。

本節課中的教學重點利用描點法畫出二次函數的圖像，建構符合學生認知結構的知識體系，教學難點是運用數形結合的思想描述函數，根據解析式判斷函數的開口方向、對稱軸、頂點坐標?；谝陨蠈滩牡恼J識，根據數學課程標準，考慮到學生已有的認知結構與心理特征，制定如下的教學目標。

2.說目標

【知識與能力】：

理解二次函數的意義。

會用描點法畫出函數y = ax2的圖象。

知道拋物線的有關概念

會根據公式確定拋物線的頂點坐標、開口方向、對稱軸以及拋物線與坐標軸的交點坐標。

【過程與方法】：

1、通過二次函數的教學進一步體會研究函數的一般方法，加深對于數形結合思想的認識。

2．綜合運用所學知識、方法去解決數學問題，培養學生提出、分析、解決、歸納問題的數學能力，改善學生的數學思維品質。

【情感與態度目標】：

在數學教學中滲透美的教育，讓學生感受二次函數圖像的對2

稱之美，激發學生的學習興趣。認識到數學源于生活，用于生活的辯證觀點。

3.說教學方法

教法選擇與教學手段：基于本節課的特點是學習新知及其綜合運用，應著重采用復習與總結的教學方法與手段，先從一次函數、反比例函數的圖像復習入手，通過提問思考、歸納總結、綜合運用等形式對二次函數圖像及其性質進行有針對性的、系統性的教學。教學的模式為學生思考，討論，教師分析，演示、師生共同總結歸納。

利用白板的動態畫板功能，畫出不同的二次函數圖像，進行分析比較和歸納。

學法指導：讓學生從問題中質疑、嘗試、歸納、總結、運用，培養學生發現問題、研究問題和解決問題的能力。

最后，我來具體談一談本節課的教學過程。

4.說教學過程

（一）為對二次函數圖像及其性質的相關知識進行重構做準備。通過回憶復習一次函數和反比例函數圖像及其性質等相關知識引入新課。利用描點法畫出二次函數的圖象，總結規律，會根據公式確定拋物線的頂點坐標、開口方向、對稱軸。說出a為何值時y隨x增大而增大（增大而減?。?，引導學生掌握用描點法畫出二次函數的圖象，能從圖象上認識二次函數的性質。運用聯想、概括方法對二次函數圖像及其性質的相關知識進行梳理，領悟數形結合的思想方法，發展學生的化歸遷移的數學思維，培養學生的轉化能力。

（二）通過對二次函數圖像及其性質的學習，采用學生思考，教師分析，解題小結三個環節構成的練習題講解模式，鞏固二次函數圖像及其性質的基本題目的一般解題方法，并進一步研究二次函數圖像及其性質的應用。

（三）反思概括，方法總結

總結本節課的知識點、重點和難點，著重理解二次函數圖像及其性質的相關知識和基本解題方法，領悟數形結合的數學思想方法，學會用化歸思想，解決實際問題。培養學生由題及法,由法及類的數學總結歸納方法。

（四）作業

課后通過練習來鞏固本節課所復習的知識點、重點和難點，強化教學目標。

各位老師，以上所說只是我預設的一種方案，但課堂上是千變萬化的，會隨著學生和教師的靈性發揮而隨機生成的，預設效果如何，最終還有待于課堂教學實踐的檢驗。本說課一定存在諸多不足，懇請各位老師提出寶貴意見，謝謝！

?九?二次函數應用思想總結

2.掌握研究一元二次函數性質的方法.

3.培養學生的觀察分析能力、邏輯思維能力、運算能力和作圖能力.培養學生用配方法解題的能力.滲透數形結合的思想方法.

4.使學生掌握從特殊到一般的認識規律和認真仔細的態度，培養學生用對立統一的觀點、全面的觀點、聯系的觀點、運動變化的觀點和具體問題具體分析的觀點處理問題.

1.復習提問：(學生回答，啟發學生通過配方得出結論.)函數函數?圖象如何?如何化為

2.導入新課：(老師口述;板書課題.)在初中學習的基礎上今天我們繼續學習和研究二次函數的圖象和性質.

1.引例分析：

例1(板書)求作函數的圖象.

由于對任意實數，都有≥0，所以≥-2.

當且僅當=-4時取等號，即作=-2.

當=0時，=-6或=-2，函數的圖象與軸相交于兩點(-6，0)、(-2，0).=-6或=-2也叫做這個二次函數的根.

以=-4為中間值，取的一些值，列出這個函數的對應值表：

在直角坐標系內描點畫圖(圖3-8):

結論：(投影，說明)該函數的圖象關于直線=-4對稱，開口向上，有最低點(-4，-2)，最小值為-2;函數在區間(-∞，-4]上是減函數，在區間[-4，+∞)上是增函數.

例2(板書)求作函數=--4+3的圖象.

解：(啟發學生思考，分析講解，歸納結論.)=-[(+2)-7]=

由-(+2)≤0得，該函數對任意實數都有號，即=7，該函數在=-2時取最大值7，記作

≤7，當且僅當=-2時取等=7.

以=-2為中間值，取的一些值，列出這個函數的對應值表：

在直角坐標系內描點畫圖(圖3-9)：

結論：(投影，說明)該函數關于直線=-2對稱，開口向下，有最高點(-2，7)，最大值為7;在區間

(-∞，-2]上是增函數，在區間[-2，+∞)上是減函數.

2.一元二次函數的性質(啟發學生歸納性質，板書.微機顯示，說明.)

(1)函數的圖形是一條拋物線，拋物線頂點的坐標是(-，)，拋物線的對稱軸是直線=-;

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(2)當>0時，函數在=-處取最小值=減函數，在[-，+∞)上是增函數.

(3)當<0時，函數在=-處取最大值=增函數，在[-，+∞)上是減函數.

求作函數=-+4-3的圖象，并回答下列問題：

(1)指出曲線的開口方向;

(2)當為何值時，=0;

(3)求函數圖象頂點的坐標和對稱軸.

本節課主要掌握研究二次函數性質的方法，熟記二次函數的圖象和性質.

1.復習本節課所學內容.

3、例4及課后練習.

六、板書設計：

?十?二次函數應用思想總結

二次函數與實際問題

利潤的最大化問題——教學設計

教學目標：

1、探究實際問題與二次函數的關系

2、讓學生掌握用二次函數最值的性質解決最大值問題的方法

3、讓學生充分感受實際情景與數學知識合理轉化的過程，體會如何遇到問題—提出問題—解決問題的思考脈絡。 教學重點：

探究利用二次函數的最大值性質解決實際問題的方法教學難點：

如何將實際問題轉化為二次函數的數學問題，并利用函數性質進行決策教學過程 : 情境設置：水果店售某種水果，平均每天售出20千克，每千克售價60元，進價20元。經市場調查發現，在進價不變的情況下，若每千克這種水果在原售價的基礎上每漲價1元，日銷售量減少1千克；若每降價1元，日銷售量將增加2千克?，F商店為增加利潤，擴大銷售，盡量減少庫存，決定采取適當措施。

（1）如果水果店日銷水果要盈利1200元，那么每千克這種水果應漲價或降價多少元？

解：設每千克這種水果降價x元。

（60-20-x）(20+2x)=1200

解得x=10或x =20 水果店擴大銷售，盡量減少庫存 x=10不合題意，舍 x=20 答：每千克這種水果應降價20元。

（2）如果水果店日銷水果要盈利最多，應如何調價？最多獲利多少元？

設計：問題1是利用一元二次方程解決問題，引導學生先根據題意判斷出應只選擇降價，只是一種可能。通過分析“降價”讓學生自主完成，教師點評，強調驗根。因學生已經學習過一元二次方程，困難不會太大。

問題2，引導學生由一元二次方程過度到二次函數，并想到利用二次函數最值的性質去解決問題。給學生空間時間去思考。老師問兩個問題；1 怎樣設？2什么方法去解決？

解：設每千克這種水果降價x元。 y=（60-20-x）(20+2x) =-2 x2+60x+800 (0

當x= 15時，y最大此時，y=1250

答：每千克應降價15元，使獲利最多，最多可獲利1250元。得到答案后，學生自做幫學生梳理過程，并畫圖象，更深刻體會。易忽略自變取值范圍。

小結：解決利潤最大化問題的基本方法和步驟：方法：二次函數思想

步驟

1、設自變量

2、建立函數解析式

3、確定自變量取值范圍

4、頂點公式求出最值 （在自變量取值范圍內）

變式：若將題中“擴大銷售，盡量減少庫存”去掉，水果店應如何調價？

解：分兩種情況討論：

（1）設每千克這種水果降價x元。 y=（60-20-x）(20+2x) =-2 x2+60x+800 (0

當x =15時，y最大此時，y=1250 答：每千克應降價15元，使獲利最多，最多可獲利1250元。

（2）設每千克這種水果應漲價x元 y=(60-20+x)(20-x) =-x2-20x+800 (0

當x> -10 時，y隨x增大而減小

當x=0時，y取最大值

此時y=800 由上述討論可知：應每千克降價15元，獲利最多，最多可獲利為1250元。

讓學生想到是二種可能，漲價和降價，得分類討論思想，函數思想，數形結合思想。強調在自變量取值范圍內取最值，如頂點不在這個范圍，根據函數圖象的增減性來判斷，而且實際問題的圖象不是整個的拋物線，而是局部，這取決于自變量取值范圍。學生自己整哩書寫，教師指導。練習與作業

某商品的進價為每件30元，現在的售價為每件40元，每星期可賣出150件。市場調查反映：如果每件的售價每漲1元（售價每件不能高于45元），那么每星期少賣10件。設每件漲價x元（x為非負整數），每星期的銷售為y件。

（1）求y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；

（2）如何定價才能使每星期的利潤最大且每星期的銷量較大？每星期的最大利潤是多少？

?十一?二次函數應用思想總結

一、教學目標

1.知識與技能目標：

⑴。使學生理解并掌握二次例函數的概念

⑵。能判斷一個給定的函數是否為二次例函數，并會用待定系數法求函數解析式

⑶。能根據實際問題中的條件確定二次例函數的解析式，體會函數的模型思想

2.過程與方法目標;

通過探究----感悟----練習，采用探究、討論等方法進行。

3.情感態度與價值觀：

通過對幾個特殊的二次函數的講解，向學生進行一般與特殊的辯證唯物主義教育

二、教學重、難點

1.重點：理解二次例函數的概念，能根據已知條件寫出函數解析式

2.難點：理解二次例函數的概念。

三、教學過程

1、知識回顧

⑴。一元二次方程的一般形式是什么?

⑵。回憶一下什么是正比例函數、一次函數?它們的一般形式是怎樣的

2、合作學習，探索新知 :

問題1: 正方體的六個面是全等的正方形，如果正方形的棱長為x,表面積為y,那么y與x的關系可表示為?

?十二?二次函數應用思想總結

一、復習引入

二次函數的最值：

二、例題分析：

例1：求二次函數的最大值以及取得最大值時的值。

變題1：⑴、⑵、⑶、

變題2：求函數（）的最大值。

變題3：求函數（）的最大值。

例2：已知（）的最大值為3，最小值為2，求的取值范圍。

例3：若，是二次方程的兩個實數根，求的最小值。

三、隨堂練習：

1、若函數在上有最小值，最大值2，若，

則=________，=________。

2、已知,是關于的一元二次方程的兩實數根，則的最小值是（）

A、0B、1C、－1D、2

3、求函數在區間上的最大值。

四、回顧小結

本節課學習了以下內容：

1、二次函數的的最值及其求法。

課后作業

班級：高一（）班姓名__________

一、基礎題：

1、函數（）

A、有最大值6B、有最小值6C、有最大值10D、有最大值2

2、函數的最大值是4，且當=2時，=5，則=______，=_______。

二、提高題：

3、試求關于的函數在上的最大值。

4、已知函數當時，取最大值為2，求實數的值。

5、已知是方程的兩實根，求的最大值和最小值。

三、能力題：

6、已知函數，其中，求該函數的最大值與最小值，

并求出函數取最大值和最小值時所對應的自變量的值。

?十三?二次函數應用思想總結

【基礎過關】

1、用一根長10 的鐵絲圍成一個矩形，設其中的一邊長為，矩形的面積為，則與的函數關系式為 .

2、張大爺要圍成一個矩形花圃.花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為32米的籬笆恰好圍成.圍成的花圃是如圖所示的矩形ABCD.設AB邊的長為x米.矩形ABCD的面積為S平方米.求S與x之間的函數關系

3、小敏在某次投籃中，球的運動路線是拋物線的

一部分(如圖)，若命中籃圈中心，則他與籃底的距離是( )

4、小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個簡易的秋千.拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為米.

5、某商場以每臺2500元進口一批彩電，如果每臺售價定為2700元，可賣出400臺，以100元為一個價格單位，若每臺提高一個單位價格，則會少賣出50臺。

⑴若設每臺的定價為 (元)賣出這批彩電獲得的利潤為 (元)，試寫出與的函數關系式;

⑵當定價為多少元時可獲得最大利潤?最大利潤是多少?

6、王強在一次高爾夫球的練習中，在某處擊球，其飛行路線滿足拋物線，

其中 (m)是球的飛行高度， (m)是球飛出的水平距離，結果球離球洞的水平距離還有2m.

(1)請寫出拋物線的開口方向、頂點坐標、對稱軸.(2)請求出球飛行的最大水平距離.

(3)若王強再一次從此處擊球，要想讓球飛行的最大高度不變且球剛好進洞，則球飛行路線應滿足怎樣的拋物線，求出其解析式.

比例線段

1.相似形：在數學上，具有相同形狀的圖形稱為相似形

2.比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段

3. 比例的性質

(1)基本性質: ， a∶b=b∶c b2=ac

(2)比例中項:若的比例中項.

比例尺 = (做題之前注意先統一單位)

以上就是初三數學寒假作業之求二次函數的應用的全部內容，希望你做完作業后可以對書本知識有新的體會，愿您學習愉快。

?十四?二次函數應用思想總結

教學目標

熟練地掌握二次函數的最值及其求法。

重點

二次函數的的最值及其求法。

難點

二次函數的最值及其求法。

一、引入

二次函數的最值：

二、例題分析：

例1：求二次函數的最大值以及取得最大值時的值。

變題1：⑴、 ⑵、 ⑶、

變題2：求函數（）的最大值。

變題3：求函數（）的最大值。

例2：已知（）的最大值為3，最小值為2，求的取值范圍。

例3：若，是二次方程的兩個實數根，求的最小值。

三、隨堂練習：

1、若函數在上有最小值，最大值2，若，

則 =________， =________。

2、已知 , 是關于的一元二次方程的兩實數根，則的最小值是（）

A、0 B、1 C、－1 D、2

3、求函數在區間上的最大值。

四、回顧小結

本節課了以下內容：

1、二次函數的的最值及其求法。

課后作業

班級：（）班姓名__________

一、基礎題：

1、函數（）

A、有最大值6 B、有最小值6 C、有最大值10 D、有最大值2

2、函數的最大值是4，且當 =2時， =5，則 =______， =_______。

二、提高題：

3、試求關于的函數在上的最大值 ,高三。

4、已知函數當時，取最大值為2，求實數的值。

5、已知是方程的兩實根，求的最大值和最小值。

三、題：

6、已知函數，，其中，求該函數的最大值與最小值，

并求出函數取最大值和最小值時所對應的自變量的值。

?十五?二次函數應用思想總結

一、由實際問題探索二次函數

某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結600個橙子，現準備多種一些橙子樹以提高產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子.

(1) 問題中有哪些變量?其中哪些是自變量?哪些因變量

(2)假設果園增種x棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹?這時平均每棵樹結多少個橙子?

(3)如果果園橙子的總產量為y個，那么請你寫出y與x之間的關系式.

果園共有(100+x)棵樹，平均每棵樹結(600-5x)個橙子，因此果園橙子的總產量

y=(100+z)(6005x)=-5x2+100x+ 60000.

二、想一想

在上述問題中，種多少棵橙子樹，可以使果園橙子的產量最多?

我們可以列表表示橙子的總產量隨橙子樹的增加而變化情況.你能根據表格中的數據作出猜測嗎 ?自己試一試.

x/棵

y/個

三.做一做

銀行的儲蓄利率是隨時間的變化而變化的。也就是說，利率是一個變量.在我國利率的調整是由中國人民銀行根據國民經濟發展的情況而決定的.設人民幣一年定期儲蓄的年利率是x，一年到期后，銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉存. 如果存款額是100元，那么請你寫出兩年后的本息和y(元)的表達式(不考慮利息稅).

四、二次函數的定義

一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a0)的函數叫做x的二次函數(quadratic function)

注意：定義中只要求二次項系數不為零，一次項系數、常數項可以為零。

例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函數.我們以前學過的正方形面積A與邊長a的關系A=a2，圓面積s與半徑r的關系s=Try2等也都是二次函數的例子.

隨堂練習

1.下列函數中(x,t是自變量)，哪些是二次函數?

y=- +3x.y= x-x+25,y=2 + 2x,s=1+t+5t

2.圓的半徑是l㎝，假設半徑增加x㎝時，圓的面積增加y㎝.

(1)寫出y與x之間的關系表達式;

(2)當圓的半徑分別增加lcm、㎝、2㎝時，圓的面積增加多少?

五、課時小結

1. 經歷探索和表示二次函數關系的過程，猜想并歸納二次函數的定義及一般形式。

2.用嘗試求值的方法解決種多少棵橙子樹，可以使果園橙子的總產量最多。

六、活動與探究

若是二次函數，求m的值.

七、作業

習題2.1

1.物體從某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的時間t(s)的關系是：h=4.9t ，填表表示物體在前5s下落的高度：

t/s 1 2 3 4 5

h/m

⒉某工廠計劃為一批長方體形狀的產品涂上油漆，長方體的長和寬相等，高比長多0.5m。

(1)長方體的長和寬用x(m)表示，長方體需要涂漆的表面積S(㎡)如何表示?

(2) 如果涂漆每平方米所需要的費用是5元，油漆每個長方體所需要費用用y(元)表示，那么y的表達式是什么?

?十六?二次函數應用思想總結

【教學目標】

1、知識與技能：

（1）體會函數與方程之間的聯系，初步體會利用函數圖象研究方程問題的方法；

（2）理解二次函數圖象與x軸（橫軸）交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，理解方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根的函數圖象特征；（3）理解一元二次方程的根就是二次函數與y=h（h是實數）圖象交點的橫坐標。 2、過程與方法：

（1）由一次函數與一元一次方程根的聯系類比探求二次函數與一元二次方程之間的聯系；（2）經歷類比、觀察、發現、歸納的探索過程，體會函數與方程相互轉化的數學思想和數形結合的數學思想。 3、情感、態度與價值觀：

培養學生類比與猜想、不完全歸納、認識到事物之間的聯系與轉化、體驗探究的樂趣和學會用辨證的觀點看問題的思維品質。

【重點與難點】

重點：經歷“類比--觀察--發現--歸納”而得出二次函數與一元二次方程的關系的探索過程。難點：準確理解二次函數與一元二次方程的關系。

【教法與學法】

教法(=)：命題課，采用“發現式學習”的方式，注重“最近發展區”，尋根問源，以舊知識為基礎創設問題情境，引導學生經歷“類比—猜想—觀察—發現—歸納—應用”的探究過程。學法：探究式學習。

【課前準備】

多媒體、PPT課件。

【教學過程】

附：板書設計：

?十七?二次函數應用思想總結

這節課是在學完正、反比例、一次函數，認識了一元二次方程之后的二次函數的第一節課，從課本的體系來看，這節課明顯是要讓學生明白什么是二次函數，能區別二次函數與其他函數的不同，能深刻理解二次函數的一般形式，并能初步理解實際問題中對定義域的限制。

但是如果光從這些知識點上來講這節課，其實很簡單，學生在原有知識的儲備基礎上很容易遷移和接受這些知識，那么這節課還有什么好設計的呢?

重新思索教材的編寫意圖，發現課本這部分內容大部分篇幅是在講三個實際問題，由此引出了二次函數，我才意識其實這節課的重點實際上應該放在“經歷探索和表示二次函數關系的過程，獲得用二次函數表示變量之間關系的體驗，從而形成定義”上，有了這個認識，一切變得簡單了!

整節課的流程可以這樣概括：學生感興趣的簡單實際問題——引出學過的一次函數——復習學過的所有函數形式——設問：有沒有新的函數形式呢?——探索新的問題——形成關系式——是函數嗎?——是學過的函數嗎?——探索出新的函數形式——概括新函數形式的特點——將特點公式化——形成二次函數定義——有練習鞏固定義特點——返回實際問題討論實際問題對自變量的限制——提出新的問題，深入討論——課堂的小結，這樣設計一氣呵成，感覺上無拖沓生硬之處，最關鍵的是我認為這符合學生的基本認知規律，是容易讓學生理解和接受的。

對于實際問題的選擇，我將4個問題整和于同一個實際背景下，這樣設計既能引起學生興趣，也盡量減少學生審題的時間，顯得非常有層次性，這些實際問題貫穿整個課堂的始終，使整個課堂有渾然天成的感覺。

對于練習的設計，仍然采取了不重復的原則性，盡量做到每題針對一個問題，并進行及時的小結，也遵循了從開放到封閉的原則，達到了良好的效果。

對于最后討論題的設計和提出，是我在進行了整個一章的單元備課后發現，我們其實對二次函數的最值問題是不講的，但是不講并不代表一點都不會涉及到，其中用到的思想方法還是相當重要的，在圖象的觀察中也具有了重要的地位，再加上這個問題在進行了前面的實際問題的解答之后是呼之欲出的：多種樹——想提高產量——多種幾棵好呢?，所以我設計了這個探索性的問題：假如你是果園的主人，你準備多種幾棵?注意這里我并沒有提出最大最小值的問題，但是所有的學生都能理解到，這是數學的魅力。這個問題的提出是整節課的一個高潮和精華，是學生學完二次函數定義之后，綜合利用函數的基本知識，代數式的知識和一元二次方程的知識進行的思考，因而他們的想法和說法，不論對錯，不論全面還是有所偏頗，其中都涉及到了重要的數學思想方法，而這些恰恰是非常重要的。事實證明學生的思維真的是非?；钴S的，你要你給了足夠的空間，他們總能從各方各面進行思考和解釋。

?十八?二次函數應用思想總結

課題：第26章二次函數專項訓練拋物線的變換

教學背景：

二次函數是九年級下冊數學中的重要教學內容，它從具體問題入手，通過實例鞏固學生所學的知識。讓學生通過平移旋轉的特征，充分感受求解析式的重要性。

教學目標：

1、知識目標：學生能夠利用平移旋轉的特征；能夠二次函數的關系式，從而熟練運用數形結合的方法解決問題。

2、技能目標：培養學生根據平移旋轉的實際情況求二次函數關系式進行而解決問題的能力，引導學生把平移旋轉實際化，即建立數學模型解決實際問題。

3、情感目標：經歷“問題情境——自主探究——交流與討論——猜想結論——得出結論”的數學思維、活動過程，體驗成功的喜悅，感受數學與實際生活的緊密聯系，增加學習數學的興趣。

教學重點：利用平移旋轉的特征感受二次函數關系式的變換規律教學難點：利用平移旋轉求二次函數關系式教學用具：多媒體教學過程：

一、引入練習：

1.點的坐標關于X軸對稱坐標的特點，Y軸對稱坐標的特點，原點對稱坐標特點。

二、專項訓練一

拋物線的平移

類型之一拋物線與平移 1．下列二次函數的圖象，不能通過函數y＝3x2的圖象平移得到的是( D ) A．y＝3x2＋2 B．y＝3(x－1)2 C．y＝3(x－1)2＋2 D．y＝2x2 2．(2015·臨沂)要將拋物線y＝x2＋2x＋3平移后得到拋物線y＝x2，下列平移方法正確的是( C ) A．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位 B．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位 C．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位 D．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位

3．如圖，把拋物線y＝x2沿直線y＝x平移2個單位后，其頂點在直線上的A處，則平移后拋物線的解析式是( C ) A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1

14．如圖在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2經過平移得21到拋物線y＝x2－2x，其對稱軸與兩段拋物線弧所圍成的陰2影部分的面積為( B ) A．2 B．4 C．8 D．16

15．在平面直角坐標系中，把拋物線y＝－x2＋1向上平2移3個單位，再向左平移1個單位，則所得拋物線的解析式1是__y＝－(x＋1)2＋4__． 26．已知二次函數y＝3x2的圖象不動，把x軸向上平移2個單位長度，那么在新的坐標系下此拋物線的解析式是__y＝3x2－2__． 7．在平面直角坐標系中，平移拋物線y＝－x2＋2x－8，使它經過原點，寫出平移后拋物線的一個解析式：__y＝－x2＋2x(答案不唯一)__．

8．(2015·岳陽)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點，頂點C的給縱坐標為－2，現將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線y＝a1x2＋b1x＋c1，則下列結論正確的是__③④__．(填序號) ①b＞0；②a－b＋c＜0；③陰影部分的面積為4；④若c＝－1，則b2＝4a.

19．如圖，點A(－1，0)為二次函數y＝x2＋bx－2的圖象2與x軸的一個交點． (1)求該二次函數的解析式，并說明當x＞0時，y值隨x值變化而變化的情況； (2)將該二次函數圖象沿x軸向右平移1個單位，請直接寫出平移后的圖象與x軸的交點坐標．

類型之二拋物線與軸對稱 10．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，其對稱軸為x＝1.下列結論中錯誤的是( D ) A．abc＜0 B．2a＋b＝0 C．b2－4ac＞0 D．a－b＋c＞0

11．如圖所示，在一張紙上作出函數y＝x2－2x＋3的圖象，沿x軸把這張紙對折，描出與拋物線y＝x2－2x＋3關于x軸對稱的拋物線，則描出的這條拋物線的解析式為__y＝－x2＋2x－3__．

類型之三拋物線與旋轉 12．將二次函數y＝x2－2x＋1的圖象繞它的頂點A旋轉180°，則旋轉后的拋物線的函數解析式為( C ) A．y＝－x2＋2x＋1 B．y＝－x2－2x＋1 C．y＝－x2＋2x－1 D．y＝x2＋2x＋1 13．在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2＋2x＋3繞著它與y軸的交點旋轉180°，所得拋物線的解析式是( B ) A．y＝－(x＋1)2＋2 B．y＝－(x－1)2＋4 C．y＝－(x－1)2＋2 D．y＝－(x＋1)2＋4 14．把二次函數y＝(x－1)2＋2的圖象繞原點旋轉180°后得到的圖象的解析式為__y＝－(x＋1)2－2__．

15．在平面直角坐標系中，將拋物線y1＝x2－4x＋1向左平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到拋物線y2，然后將拋物線y2繞其頂點順時針旋轉180°，得到拋物線y3.(1)求拋物線y2，y3的解析式； (2)求y3＜0時，x的取值范圍； (3)判斷以拋物線y3的頂點以及其與x軸的交點為頂點的三角形的形狀，并求它的面積．