實驗12 探索等積矩形中的函數關系(導學單)

一、實驗目的:

1通過**等面積矩形邊之間的函數關系，可以加深對反比例函數概念的理解；

2體驗數形結合的思想和模式。

二、實驗操作

1實驗準備：各種規格的矩形紙

實驗內容與步驟

2. 操作與度量

（1）揭下附錄6中的所有矩形紙片，并貼在38頁的直角坐標系的第一象限中（設直角坐標系中每一個小正方形的邊長為1），使矩形紙片的一個頂點與原點o重合，相鄰兩邊分別在x軸、y軸上..

（2） 設x軸矩形邊長為x，y軸矩形邊長為y，請填寫下表：

3. 觀察與思考

（1） 看看**中的數據，你發現了什么？

（2）y是x的函數嗎？如果是，寫出函數表達式.

（3）將這些矩形紙片右上角的頂點用光滑的曲線依次連接起來，你發現這個圖形有什么特點?可以是2（2）中函數的圖像嗎？說明理由.

三、典型例題

例1. 如圖，p是反比例函數的圖象上一點，過p點分別向x軸、y軸作垂線，所得到的圖中陰影部分的面積為6，求這個反比例函數的解析式。

例2。如圖所示，a點在反比例函數圖上，ab垂直于x軸，垂直腳為b，求出△oab的面積。

例3. 如圖，正比例函數與反比例函數的圖象相交于a、c兩點，過a點作x軸的垂線交x軸于b，連結bc，則△abc面積s為多少？

四、基礎練習:

1如圖所示，圖象上通過反比例函數的任意兩點a、b分別垂直于x軸，垂直腳分別為c和d，連結oa和ob。設ac與ob的交點為e，△aoe與梯形ecdb的面積分別為s1、s2，比較它們的大小，可得（ ）

一種。 bcd大小關系無法確定

2.如圖，點a在雙曲線上，點b在雙曲線上且ab∥x軸，c、d在x軸上，若四邊形abcd為矩形，則它的面積為_______

3.如圖，a、b是函數的圖象上關于原點o對稱的任意兩點，ac平行于y軸，bc平行于x軸的面積為s，則（ ）

a、 s＝1 b.12

4. 如圖，正比例函數與反比例函數的圖象相交于a、c兩點，過a點作x軸的垂線，交x軸于b，過c作x軸的垂線，交x軸于d，則四邊形abcd的面積為

五、中考鏈接

例4.如圖，反比例函數(x>0)與矩形oabc的邊ab、bc交于f、

e兩點，be=ce，四邊形oebf的面積為2

1.求證：af=bf；2.求三角形oaf的面積；3.求k的值

六、課后思考

1rtδaob的頂點a是一條直線y=x+11-m雙曲線

在第一象限的交點處，且sδaob=3。

（1）求m的值；

（2）求點c坐標。

2. 已知：直線ab過點a（m,0) b(0,n)(m>0,n>0)。逆比例函數的圖象在c和d處與ab相交。若,

求n的值。

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1．回顧反比例函數的概念．通過實際問題，進一步感受用反比例函數解決實際問題的過程與方法，體會反比例函數是分析、解決實際問題的一種有效的模型．

2．歸納總結反比例函數的圖象和性質，進一步體會形數結合的數學思想方法．

1．回顧、梳理本章的知識：

如同已經學過的有關方程、函數的內容一樣，本章內容分為3塊：

（1）從生活到數學：從問題到反比例函數，即建構實際問題的數學模型；

（2）數學研究：反比例函數的圖象與性質；

（3）用數學解決問題：反比例函數的'應用．

2．可以設計一組問題，重點歸納、整理反比例函數的圖象與性質，進一步感受形數結合的數學思想方法．例如：

（1）由形到數——用待定系數法求反比例函數的關系式；由圖象的位置或圖象的部分確定函數的特征；

（2）由數到形――根據反比例函數關系式或反比例函數的性質，確定圖形的位置、趨勢等；

（3）形數結合——函數的圖象與性質的綜合應用

2例如：如圖，點Ｐ是反比例函數y？上的一點，ＰＤ垂直x軸于點Ｄ，則△xＰＯＤ的面積為________

3．設計一個實際問題，讓學生經歷“問題情境一建立模型一求解一解釋與應用”的基本過程．

例如：為了預防“非典”，某學校對教室采用藥薰法進行消毒．已知藥物燃燒時．室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時間x（min）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖）．現測得藥物8min燃畢，此時室內空氣中每立方米含藥量為6mg。

（1）寫出藥物燃燒前、后y與x的函數關系式；

（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時，學生方可進教室．那么從消毒開始，至少需要多少時間，學生方能進入教室？

（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續時間不少于10min時，才能有效滅殺空氣中的病菌，那么這次消毒是否有效？

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反比例函數是初中數學中比較重要的一種函數，它具有獨特的圖像和性質。在本篇課件中，我們將深入了解反比例函數的圖像和性質，幫助學生更好地掌握這一知識點。

第一部分：反比例函數的定義和圖像

1.1 反比例函數的定義

反比例函數是一種特殊的函數，它的定義為y = k/x (k≠0)。其中，k為反比例函數的比例常數。

1.2 反比例函數的圖像

反比例函數的圖像為雙曲線，其橫坐標軸和縱坐標軸都為漸進線。當x趨近于0時，y趨近于無窮大，反之亦然。雙曲線的左右兩端都存在對稱點，即y軸所對應的點。

第二部分：反比例函數的性質

2.1 可定義域和值域

反比例函數的定義域為除去x = 0的一切實數，值域為除去y = 0的一切實數。因為當x = 0時，y無定義；當y = 0時，x無定義。

2.2 奇偶性

反比例函數是一個奇函數，即當x取反時，y取相反數。這可以通過函數式y = k/x的對稱性進行證明。

2.3 單調性

當x增大時，y減小，反之亦然。反比例函數在它的定義域內是單調的。

2.4 漸進線

當x趨近于正無窮或負無窮時，反比例函數的圖像趨近于x軸和y軸，即這兩條軸成為反比例函數的漸進線。而當x取值很大或很小時，y在數值上接近于0，但y不等于0。

2.5 對稱性

反比例函數的圖像關于y軸和x軸都具有對稱性。這可以通過函數式y = k/x的對稱性進行證明。

第三部分：反比例函數的應用

3.1 比例與反比例函數的區別

在數學中，比例函數和反比例函數都屬于函數關系中的特殊情況。比例函數的定義為y = kx，其中k為比例常數。相比之下，反比例函數的定義為y = k/x，與比例函數相比，反比例函數的變化方式更加明顯。

3.2 反比例函數在實際問題中的應用

反比例函數可以用于一些實際問題中，例如一個物體離開另一個物體的距離和它們之間的引力。引力隨著距離的增加而減小，因此它們之間的關系可以寫成反比例函數。此外，反比例函數還可以用于計算機的緩存和帶寬。

結語

通過本篇課件，我們深入了解了反比例函數的圖像和性質。反比例函數在初中數學中占據重要的地位，掌握它的定義和特點對于學習和應用數學知識都具有重要的意義。我們希望學生們能夠認真學習，并且在實踐中成功應用這些知識。

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反比例函數的圖像和性質

反比例函數是數學中一個常見的函數類型，它在實際生活和工作中也得到了廣泛應用。在學習和掌握反比例函數時，為了更好地理解和應用，需要掌握其圖像和性質。本文將詳細介紹反比例函數的圖像和性質。

一、反比例函數的定義及表達式

反比例函數是由兩個變量的乘積等于一個常數來定義的函數。其一般表達式為： y = k/x （k ≠ 0）。

其中，x 和 y 是函數的自變量和因變量，k 是常數。

二、反比例函數的圖像

反比例函數的圖像是一條雙曲線。其特點是：當 x 趨近于正無窮或負無窮時，y 趨近于 0；當 x 靠近 0 時，y 趨近于正或負無窮。

拿 y = 3/x 的反比例函數為例，它的圖像如下所示：

[圖像]

可以看到，當 x 靠近 0 時，y 趨近于正或負無窮，而當 x 趨近正無窮或負無窮時，y 趨近于 0。這也是反比例函數圖像的一個特點。

三、反比例函數的性質

1. 零點（x 軸交點）

反比例函數的 x 軸上的零點為 k/y。也就是說，當 y = 0 時，x = ±∞。因為當 y = 0 時，x 無限大或無限小，與反比例函數圖像的特點相符。

2. 對稱軸

反比例函數的對稱軸為 y = x。這是因為反比例函數的定義是 y = k/x，即 x = k/y。將 x 和 y 互換位置，即可得到 y = k/x，即對稱軸為 y = x。

3. 單調性

反比例函數在自變量的正負兩側單調遞減。這是因為當自變量 x 增大時，因變量 y 會減小。以 y = 3/x 為例，可以看到，當 x 變大時，y 會變小。

4. 漸進線

反比例函數的漸進線有兩條，分別是 x 軸和 y 軸。當 x 趨近于正無窮或負無窮時，函數值趨近于 0，即與 x 軸趨近。當 y 趨近于正無窮或負無窮時，函數值趨近于 0，即與 y 軸趨近。

5. 消減率

反比例函數的消減率為反比例常數 k。消減率定義為 y 的變化量與 x 的變化量之比，即 dy/dx = -k/x^2。

在應用反比例函數時，可以利用其性質來解決問題，例如根據消減率求解問題、利用漸進線來近似計算函數值等。

總之，反比例函數是數學中一個重要的函數類型。在學習和應用中，掌握其圖像和性質是非常重要的。希望本文能夠對讀者更好地理解和掌握反比例函數提供幫助。

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一、教材分析

反比例函數的圖象與性質是對正比例函數圖象與性質的復習和對比，也是以后學習二次函數的基礎。本課時的學習是學生對函數的圖象與性質一個再知的過程，由于初三學生是首次接觸雙曲線這種函數圖象，所以教學時應注意引導學生抓住反比例函數圖象的特征，讓學生對反比例函數有一個形象和直觀的認識。

二、 教學目標分析

根據課改“以學生為主體，激活課堂氣氛，充分調動起學生參與教學過程”的精神。在教學設計上，我設想通過使用多媒體課件創設情境，在掌握反比例函數相關知識的同時激發學生的學習興趣和探究欲望，引導學生積極參與和主動探索。因此把教學目標確定為：

1.進一步熟悉作函數圖象的主要步驟，會作反比例函數的圖象.

2.體會函數的三種表示方法的互相轉換.對函數進行認識上的.整合.

3.逐步提高從函數圖象獲取信息的能力，探索并掌握反比例函數的主要性質.

(二)能力訓練要求

通過學生自己動手列表、描點、連線，提高學生的作圖能力；通過觀察圖象，概括反比例函數的有關性質，訓練學生的概括、總結能力.

(三)情感與價值觀要求

讓學生積極參與到數學學習活動中，增強他們對數學學習的好奇心與求知欲.

三、教學重點難點分析

本堂課的重點是：

1、畫反比例函數的圖象；并從函數圖象中獲取信息。

2、探索并研究反比例函數的主要性質.

本堂課的難點是：反比例函數的圖象特點及性質的探究.

為了突出重點、突破難點。我設計并制作了能動態演示函數圖象的多媒體課件。讓學生親手操作，積極參與并主動探索函數性質，幫助學生直觀地理解反比例函數的性質。

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函數y=k/x 稱為反比例函數，其中k≠0，其中X是自變量，

1.當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內，y隨x的增大而減小;當k<0時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內,y隨x的增大而增大。

2.k>0時，函數在x<0上同為減函數、在x>0上同為減函數;k<0時，函數在x<0上為增函數、在x>0上同為增函數。

4..因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。 但隨著x無限增大或是無限減少，函數值無限趨近于0，故圖像無限接近于x軸

5. 反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分線)，對稱中心是坐標原點。

(k為常數，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數。

其中，x是自變量，y是函數。由于x在分母上，故取x≠0的一切實數，看函數y的取值范圍，因為k≠0，且x≠0，所以函數值y也不可能為0。

補充說明：1.反比例函數的解析式又可以寫成： (k是常數，k≠0).

2.要求出反比例函數的解析式，利用待定系數法求出k即可.

⑴等號左邊是函數，等號右邊是一個分式。分子是不為零的常數(也叫做比例系數)，分母中含有自變量，且指數為1。

⑶自變量的取值為一切非零實數。

⑷函數的取值是一切非零實數。

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教學目標：

1.能運用反比例函數的相關知識分析和解決一些簡單的實際問題。

2.在解決實際問題的過程中，進一步體會和認識反比例函數是刻

畫現實世界中數量關系的一種數學模型。

教學重點運用反比例函數解決實際問題

教學難點運用反比例函數解決實際問題

教學過程：

一、情景創設

引例：小麗是一個近視眼，整天眼鏡不離鼻子，但自己一直不理解自己的眼鏡配制的原理，很是苦悶，近來她了解到近視眼鏡的度數y(度)與鏡片的焦距為x(m)成反比例，并請教師傅了解到自己400度的近視眼鏡鏡片的焦距為0.2m，可惜她不知道反比例函數的概念，所以她寫不出y與x的函數關系式，我們大家正好學過反比例函數了，誰能幫助她解決這個問題呢?

反比例函數在生活、生產實際中也有著廣泛的應用。

例如：在矩形中S一定，a和b之間的關系?你能舉例嗎?

二、例題精析

例1、見課本73頁

例2、見課本74頁

例3、某氣球內充滿一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的.氣壓p(千帕)是氣球體積V(米3)的反比例函數(1)寫出這個函數解析式(2)當氣球的體積為0.8m3時，氣球的氣壓是多少千帕?(3)當氣球內的氣壓大于144千帕時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球的體積不小于多少立方米?

四、課堂練習課本P74練習1、2題

五、課堂小結反比例函數的應用

六、課堂作業課本P75習題9.3第1、2題

七、教學反思

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一、教材分析：

本課時的內容是在已經學習了平面直角坐標系和一次函數的基礎上，再一次進入函數范疇，讓學生進一步理解函數的內涵，并感受到現實世界中存在各種函數。反比例函數的圖象與性質是對正比例函數圖象與性質的復習和對比，也是以后學習二次函數的基礎。本課時的學習是學生對函數的圖象與性質一個再知的過程，由于初二學生是首次接觸雙曲線這種函數圖象，所以教學時應注意引導學生抓住反比例函數圖象的特征，讓學生對反比例函數有一個形象和直觀的認識。

二、教學目標分析：

根據新課改“以學生為主體，激活課堂氣氛，充分調動起學生參與教學過程”的精神。在教學設計上，我設想通過使用多媒體課件創設情境，在掌握反比例函數相關知識的同時激發學生的學習興趣和探究欲望，引導學生積極參與和主動探索。

因此把教學目標確定為：

（一）知士標：

１、使學生了解反比例函數的概念

２、使學生能夠根據問題中的條件確定反比例函數的解析式。

３、使學生理解反比例函數的性質，會畫出它們的圖象，以及根據圖象指出函數值隨自變量的增加或減少而變化的情況。

４、會用待定系數法確定反比例函數的解析式。

（二）能力目標：

培養學生的觀察能力，分析能力，立解決問題的能力。

（三）德育目標：

１、向學生滲透數學來源于實踐又反過去作用于實踐的觀點。

２、使學生體會事物是有規律地變化著的觀點。

（四）美育目標：

通過反比例函數圖象的研究，滲透反映其性質的圖象的直觀形象美，激發學生的興趣，也培養了學生積極探索知識的能力。

三、教學重點，難點。

（一）教學重點：反比例的概念、圖象、性質，以及用待定系數法確定反比例函數的解析性。

（二）教學難點：畫反比例函數的圖象。

（三）解決方法

（1）由分組討論，積極思考，分析問題，發現結論。

（2）訓練，研究，總結

因為反比例函數的圖象有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學生初次接觸，一定會感到困難。為了突出重點、突破難點。我設計并制作了能動態演示函數圖象的多媒體課件。讓學生親手操作，積極參與并主動探索函數性質，幫助學生直觀地理解反比例函數的性質。

四、教學方法：

初中學生好動、好奇、好表現，抓住學生特點，積極采用形象生動、形式多樣的教學方法和學生廣泛的`、積極主動參與的學習方式，定能激發學生興趣，有效地培養學生能力，促進學生個性發展。生理上，青少年好動，注意力易分散，愛發表見解，希望得到老師的表揚，所以在教學中應抓住學生這一生理特點，一方面要運用直觀生動的形象，引發學生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要創造條件和機會，讓學生發表見解，發揮學生學習的主動性。鑒于教材和初二學生的年齡特點、心理特征和認知水平，設想采用問題教學法和對比教學法，用層層推進的提問啟發學生深入思考，主動探究，主動獲取知識。同時注意與學生已有知識的聯系，減少學生對新概念接受的困難，給學生充分的自主探索時間。通過教師的引導，啟發調動學生的積極性，讓學生在課堂上多活動、多觀察，主動參與到整個教學活動中來，組織學生參與“探究。

4、反比例函數及其圖象說課稿

今天我說課的內容是八年級數學下冊第十七章反比例函數及其圖象。

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練習2：已知：g(x)=x+1,f=2x2+1,求f(x-1) 答案：f(x-1)=2x2-8x+9

(3)如果函數f (x)滿足af (x)+f=ax,x∈R且x≠0,a為常數，且a≠±1,求f (x)的表達式。答案：f (x)= (x∈R且x≠0)

練習3： 2f (x) － f (－x) = lg (x+1), 求 f (x).

答案：f(x)= lg(x+1)+lg(1－x) (－1

例2.已知f (x)是一次函數，并且滿足3f (x+1) - 2f (x-1)＝2x+17,求f (x).

練習4：已知f (x)是二次函數，滿足f(0)=1且f (x+1) - f (x)＝2x,求f (x)

例3.設f(x)是R上的函數,且滿足f(0)=1，并且對任意實數x,y

有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)答案：f (x) =x2+x+1

練習5：函數f(x)對任何x∈R恒有f(xx)=f(x1)+f(x2),已知f(8)=3,

則f()=

練習6：已知函數f(x)的圖像是由兩條射線和開口向下的拋物線組成，

例5.已知定義在R上的函數y=f(x)關于直線x=2對稱并且x∈上的解析式為y=2x-1,則f(x)在x∈上的解析式為 y=7-2x

練習7：設函數y=f(x)關于直線x=1對稱，若當x≤1時，y=x2+1,

課堂小結：求函數的解析式的方法較多，應根椐題意靈活選擇，但不論是哪種方法都應注意自變量的取值范圍，對于實際問題材，同樣需注意這一點，應保證各種有關量均有意義。

布置作業：

1、若g(x)=1-2x , f = (x≠0),求f()的值。

2、已知f(x - )=x + , 求f(x-1)的表達式.

3、已知f(x)=9x+1,g(x)=x,則滿足f= g 的x的值為多少？

4、已知f(x)為一次函數且f = 9x+4,求f(x).

教后反思：

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反比例函數的圖像和性質

反比例函數是高中數學中一個非常重要的函數類型，具有很多特殊的性質和應用。掌握反比例函數的圖像和性質對于理解和解決實際問題非常有幫助。在本文中，我們將重點介紹反比例函數的圖像和性質，幫助學生更好地理解和應用反比例函數。

一、反比例函數的定義

反比例函數是指函數y=k/x，其中k為常數，x為自變量，y為因變量。它的定義域為{x | x ≠ 0}，值域為{y | y ≠ 0}。

二、反比例函數的圖像

反比例函數的圖像是一條經過坐標軸原點的雙曲線。當x趨近于0時，y趨近于無窮大；當x趨近于無窮大時，y趨近于0。反比例函數的圖像如下所示：

三、反比例函數的性質

1. 定義域和值域

反比例函數的定義域為{x | x ≠ 0}，值域為{y | y ≠ 0}，即y不能等于0。

2. 單調性

反比例函數是單調遞增的，即當x1 y2。

3. 零點和漸近線

反比例函數的零點為(0,k)，即過原點且與y軸平行的直線。反比例函數還有兩條漸近線，分別是x軸和y軸。當x趨近于無窮大或負無窮大時，反比例函數的值趨近于0。

4. 對稱性

反比例函數是關于y軸的對稱函數。如果將函數圖像沿y軸翻轉180度，則原來在第二象限的點會被映射到第三象限，原來在第一象限的點會被映射到第四象限。

四、反比例函數的應用

反比例函數在實際問題中有廣泛的應用，例如：

1. 比例問題

反比例函數可以用于解決比例問題，例如“一個物體的密度與其體積成反比例關系，當物體的密度為2時，它的體積是多少？”可以用反比例函數y=k/x表示物體的密度和體積之間的關系，其中k為常數。根據題意，當密度為2時，體積為k/2，因此k=2v，所以y=2v/x。當密度為2時，體積為2v/2=V，即體積為V。

2. 費用問題

反比例函數可以用于解決費用問題，例如“一輛汽車每小時行駛60公里，行駛一定距離的時間越短，所產生的費用越大，費用與行駛時間成反比例關系，費用為每小時80元，行駛120公里需要多少費用？”可以用反比例函數y=k/x表示費用和時間之間的關系，其中k為常數。根據題意，當時間為1小時時，費用為80元，因此k=80。此時反比例函數為y=80/x，當行駛120公里時，時間為120/60=2小時，因此費用為80元/小時×2小時=160元。

總之，反比例函數是高中數學中一個非常重要的函數類型，具有很多特殊的性質和應用。掌握反比例函數的圖像和性質不僅可以幫助學生理解反比例函數，還可以應用到實際問題中，解決各種復雜的問題。

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教學目標

(一)教學知識點

1.進一步鞏固作反比例函數的圖象.

2.逐步提高從函數圖象中獲取信息的能力，探索并掌握反比例函數的主要性質.

(二)能力訓練要求

1.通過畫反比例函數圖象，訓練學生的作圖能力.

2.通過從圖象中獲取信息，訓練學生的識圖能力.

3.通過對圖象性質的.研究，訓練學生的探索能力和語言組織能力.

(三)情感與價值觀要求

讓學生積極投身于數學學習活動中，有助于培養他們的好奇心與求知欲.經過自己的努力得出的結論，不僅使他們記憶猶新，還能建立自信心.由學生自己思考再經過合作交流完成的數學活動，不僅能使學生學到知識，還能使他們互相增進友誼.

教學重點

通過觀察圖象，歸納概括反比例函數圖象的共同特征，探索反比例函數的主要性質.

教學難點

從反比例函數的圖象中歸納總結反比例函數的主要性質.

教學方法

教師引導學生類推歸納概括學習法.

教具準備

投影片三張

第一張：(記作5.2.2A)

第二張：(記作5.2.2B)

第三張：(記作5.2.2C)

教學過程

Ⅰ.創設問題情境，引入新課

[師]上節課我們學習了畫反比例函數的圖象，并通過圖象總結出當k0時，函數圖象的兩個分支分別位于第一、三象限內;當k0時，函數圖象的兩個分支分別位于第二、四象限內.并討論了反比例函數

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反比例函數是高中數學中的一個重要概念，也是數學中的基礎概念之一。反比例函數的圖像和性質是我們學習這個概念的重點內容，下面就來詳細講解一下反比例函數的圖像和性質。

一、反比例函數的定義

反比例函數是指一個函數，當自變量在一定的取值范圍內變化時，其相應的因變量與自變量的乘積保持為一個常數的函數。通常記為y=k/x，其中k是一個常數，叫做反比例函數的比例系數。

二、反比例函數的圖像

反比例函數的圖像一般是一條通過原點斜率為常數k的雙曲線。具體來說，當自變量x趨近于0時，函數值y趨近于無窮大，當自變量x趨近于正無窮大或負無窮大時，函數值y趨近于0。反比例函數的圖像如下所示：

（圖中紅色雙曲線即為反比例函數的圖像）

三、反比例函數的性質

1. 定義域和值域

反比例函數的定義域是除了0以外的所有實數，值域是除了0以外的所有非零實數。

2. 奇偶性

反比例函數是一個奇函數，即滿足f(-x)=-f(x)。

3. 單調性

當x>0時，y隨著x的增加而減少；當x

4. 漸近線

反比例函數的圖像可以看作是兩條漸近線y=kx和y=-kx的交點，即當x趨近于正無窮大或負無窮大時，函數值y趨近于0，而當x趨近于0時函數無定義。

5. 對稱中心

反比例函數的對稱中心在第三象限的點(-√k,√k)，即在兩條漸近線的交點的中心對稱。

四、反比例函數的應用

反比例函數在很多實際問題中有著廣泛的應用。例如在工程領域中，電路中的電阻、電容和電感等元件的相互作用就可以用反比例函數來表示；在物理中，牛頓定律中的萬有引力定律也可以用反比例函數來表示。

五、總結

反比例函數的圖像和性質是高中數學中的一個重點難點。掌握反比例函數的圖像和性質對于完成高中數學學習中的一些實際問題非常重要。需要我們認真學習反比例函數的概念和相關知識，掌握解題技巧，加強對反比例函數的理解和應用。

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趙娜

為進一步提升教育教學水平，加快專業化成長，我參加了教學能手評選活動，在初賽中我選擇的教學內容為高教版中職數學基礎模塊第六章三角函數第六節《余弦函數的圖像和性質》，三角函數是研究圓周運動和周期現象的重要數學模型，在高中數學知識體系中占有十分重要的地位，函數的圖像和性質又是本章的一個教學重點也是難點，結合學生的學情我確定本節課的教學目標為理解余弦函數的圖像和性質，掌握用五點法畫余弦函數簡圖的方法，依靠有限的的課堂教學時間學生能否完全掌握本節課的知識點我很難預設。那如何更好的達成教學目標取得較好的教學效果，我打算嘗試在教學中引入微課，在教學流程的最后環節將微課分享到班級群，讓微課成為學生課后復習的工具。

利用微課進行課后輔導，學生可以針對課堂上沒有理解的`重難點反復觀看學習，使自己理解知識點，突破重難點，達到查漏補缺的作用。微課實現了課堂再現，通過觀看使不同程度的學生都能得到發展,更好的因材施教，滿足學生多樣化的學習需求。

課后我對同學的使用情況也進行了調查，學生的反饋信息如下：

路同學：通過微課的學習，我對余弦函數有了更深一層次的了解，理解也更透徹，讓我今后的學習變得更輕松。

易同學：微課視頻中的最后一個環節將正弦函數的圖像和余弦函數的圖像放在同一個平面直角坐標系中進行比較，概括總結出他們之間的聯系，而老師在課堂上并沒有講此知識點，微課對課堂教學進行了補充，使我們的知識得以升華，掌握的知識更系統更清晰，理解更深刻更透徹。

張同學：通過這次使用微課我發現了很多好處，課堂上沒聽明白的地方和一些存有疑問的知識點可以通過反復觀看微課來弄懂，避免了自己以前有問題不愿去問老師，導致不會的知識越積越多，而且微課的內容講解的很詳細，方便做題。

李同學：在觀看微課后我發現了一個小問題，聲音有點小，周圍同學吵一點就聽不清楚了。

鄧同學：我是一個好動型的學生，上課的時候經常開小差，往往教師講授的知識點可能漏聽，出現似懂非懂狀態，通過微課我可以根據自己掌握知識的程度有針對性的進行查漏補缺。

總之，初次使用微課，給我帶來了很多的驚喜，微課分享給學生更加新穎的學習手段，不僅提高了課堂教學效率，更重要的是激發了中職學生的學習興趣，在今后的教學中我還將不斷學習不斷嘗試，更好的利用微課，使教學更有效學習更生動。

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教學目標

(一)教學知識點

1.從現實情境和已有的知識經驗出發,討論兩個變量之間的相似關系,加深對函數概念的理解.

2.經歷抽象反比例函數概念的過程,領會反比例函數的意義,理解反比例函數的概念.

(二)能力訓練要求

結合具體情境體會反比例函數的意義,能根據已知條件確定反比例函數表達式.

(三)情感與價值觀要求

結合實例引導學生了解所討論的函數的表達形式,形成反比例函數概念的具體形象,是從感性認識到理性認識的轉化過程,發展學生的思維;同時體驗數學活動與人類生活的密切聯系及對人類歷史發展的作用.

教學重點

經歷抽象反比例函數概念的過程,領會反比例函數的意義,理解反比例函數的概念.

教學難點

領會反比例函數的意義,理解反比例函數的概念.

教學方法

教師引導學生進行歸納.

教具準備

投影片兩張

第一張:(記作5.1A)

第二張:(記作5.1B)

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教學過程

Ⅰ.創設問題情境,引入新課

[師]我們在前面學過一次函數和正比例函數,知道一次函數的表達式為y=kx+b.其中k,b為常數且k≠0,正比例函數的表達式為y=kx,其中k為不為零的常數.但是在現實生活中,并不是只有這兩種類型的表達式.如從A地到B地的路程為1200km,某人開車要從A地到B地,汽車的速度v(km/h)和時間t(h)之間的關系式為vt=1200,則t= 中t和v之間的關系式肯定不是正比例函數和一次函數的關系式,那么它們之間的關系式究竟是什么關系式呢?這就是本節課我們要揭開的奧秘.

Ⅱ.新課講解

[師]我們今天要學習的是反比例函數,它是函數中的一種,首先我們先來回憶一下什么叫函數?

1.復習函數的定義

[師]大家還記得函數的定義嗎?

[生]記得.

在某變化過程中有兩個變量x,y.若給定其中一個變量x的值,y都有唯一確定的值與它對應,則稱y是x的函數.

[師]大家能舉出實例嗎?

[生]可以.

例如購買單價是0.4元的鉛筆,總金額y(元)與鉛筆數n(個)的關系是y=0.4n.這是一個正比例函數.

等腰三角形的頂角的度數y與底角的度數x的關系為y=180-2x,y是x的一次函數.

[師]很好,我們復習了函數的定義以及正比例函數和一次函數的表達式以后,再來看下面實際問題中的變量之間是否存在函數關系,若是函數關系,那么是否為正比例或一次函數關系式.

2.經歷抽象反比例函數概念的過程,并能類推歸納出反比例函數的表達式.

[師]請看下面的問題.

電流I,電阻R,電壓U之間滿足關系式U=IR,當U=220V時.

(1)你能用含有R的代數式表示I嗎?

(2)利用寫出的關系式完成下表:

R/Ω20406080100

I/A

當R越來越大時,I怎樣變化?當R越來越小呢?

(3)變量I是R的函數嗎?為什么?

請大家交流后回答.

[生](1)能用含有R的代數式表示I.

由IR=220,得I= .

(2)利用上面的關系式可知,從左到右依次填11,5.5,3.67,2.75,2.2.

從表格中的數據可知,當電阻R越來越大時,電流I越來越小;當R越來越小時,I越來越大.

(3)變量I是R的函數.

由IR=220得I= .當給定一個R的值時,相應地就確定了一個I值,因此I是R的函數.

[師]這位同學回答的非常精彩,下面大家再思考一個問題.

舞臺燈光為什么在很短的時間內將陽光燦爛的晴日變成濃云密布的陰天,或由黑夜變成白晝的?請大家互相交流后回答.

[生]根據I= ,當R變大時,I變小,燈光較暗;當R變小時,I變大,燈光較亮.所以通過改變電阻R的大小來控制電流I的變化,就可以在很短的時間內將陽光燦爛的晴日變成濃云密布的陰天,或由黑夜變成白晝.

投影片:(5.1A)

京滬高速公路全長約為1262km,汽車沿京滬高速公路從上海駛往北京,汽車行完全程所需的時間t(h)與行駛的平均速度v(km/h)之間有怎樣的關系?變量t是v的函數嗎?為什么?

[師]經過剛才的例題講解,大家可以獨立完成此題.如有困難再進行交流.

[生]由路程等于速度乘以時間可知1262=vt,則有t= .當給定一個v的值時,相應地就確定了一個t值,根據函數的定義可知t是v的函數.

[師]從上面的兩個例題得出關系式

I= 和t= .

它們是函數嗎?它們是正比例函數嗎?是一次函數嗎?

[生]因為給定一個R的值,相應地就確定了一個I的值,所以I是R的函數;同理可知t是v的函數.但是從表達式來看,它們既不是正比例函數,也不是一次函數.

[師]我們知道正比例函數的關系式為y=kx(k≠0),一次函數的關系式為y=kx+b(k,b為常數且k≠0).大家能否根據兩個例題歸納出這一類函數的表達式呢?

[生]可以.由I= 與t= 可知關系式為y= (k為常數且k≠0).

[師]很好.

一般地,如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成y= (k為常數,k≠0)的形式,那么稱y是x的反比例函數.

從y= 中可知x作為分母,所以x不能為零.

3.做一做

投影片(5.1B)

1.一個矩形的面積為20cm2,相鄰的兩條邊長分別為x cm和y cm,那么變量y是變量x的函數嗎?是反比例函數嗎?為什么?

2.某村有耕地346.2公頃,人口數量n逐年發生變化,那么該村人均占有耕地面積m(公頃/人)是全村人口數n的.函數嗎?是反比例函數嗎?為什么?

3.y是x的反比例函數,下表給出了x與y的一些值:

x-2-1

13

y

2-1

(1)寫出這個反比例函數的表達式;

(2)根據函數表達式完成上表.

[生]由面積等于長乘以寬可得xy=20.則有y= .變量y是變量x的函數.因為給定一個x的值,相應地就確定了一個y的值,根據函數的定義可知變量y是變量x的函數.再根據反比例函數的表達式可知y是x的反比例函數.

[生]根據人均占有耕地面積等于總耕地面積除以總人數得m= .給定一個n的值,就相應地確定了一個m的值,因此m是n的函數,又m= 符合反比例函數的形式,所以是反比例函數.

[師]在做第3題之前,我們先回憶一下如何求正比例函數和一次函數的表達式.在y=kx中,要確定關系式的關鍵是求得非零常數k的值,因此需要一個條件即可;在一次函數y=kx+b中,要確定關系式實際上是要求得b和k的值,有兩個待定系數因此需要兩個條件.同理,在求反比例函數的表達式時,實際上是要確定k的值.因此只需要一個條件即可,也就是要有一組x與y的值確定k的值.所以要從表格中進行觀察.由x=-1,y=2確定k的值.然后再根據求出的表達式分別計算x或y的值.

[生]設反比例函數的表達式為

y= .

(1)當x=-1時,y=2;

∴k=-2.

∴表達式為y=- .

(2)當x=-2時,y=1.

當x=- 時,y=4;

當x= 時,y=-4;

當x=1時,y=-2.

當x=3時,y=- ;

當y= 時,x=-3;

當y=-1時,x=2.

因此表格中從左到右應填

-3,1,4,-4,-2,2,- .

Ⅲ.課堂練習

隨堂練習(P131)

Ⅳ.課時小結

本節課我們學習了反比例函數的定義,并歸納總結出反比例函數的表達式為y= (k為常數,k≠0),自變量x不能為零.還能根據定義和表達式判斷某兩個變量之間的關系是否是函數,是什么函數.

Ⅴ.課后作業

習題5.1

Ⅵ.活動與探究

已知y-1與 成反比例,且當x=1時,y=4,求y與x的函數表達式,并判斷是哪類函數?

分析:由y與x成反比例可知y= ,得y-1與 成反比例的關系式為y-1= =k(x+2),由x=1、y=4確定k的值.從而求出表達式.

解:由題意可知y-1= =k(x+2).

當x=1時,y=4.

所以3k=4-1,

k=1.

即表達式為y-1=x+2,

y=x+3.

由上可知y是x的一次函數.

板書設計

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一、 背景分析

1. 對教材的分析

本節課講述內容為北師大版教材九年級下冊第五章《反比例函數》的第二節，也這一章的重點。本節課是在理解反比例函數的意義和概念的基礎上，進一步熟悉其圖象和性質的過程。

本節課前一課時是在具體情境中領會反比例函數的意義和概念 。函數的性質蘊涵于概念之中，對反比例函數性質的探索是對其內在規定性的的認識，也是對函數的概念的深化。同時，本節課也是下一節課《反比例函數的應用》的基礎，有了本節課的知識儲備，便于學生利用函數的觀點來處理問題和解釋問題。

傳統教材在內容和編寫意圖的比較：傳統教材里反比例函數的內容僅有一節，新教材里反比例函數的內容增加至一章。本節課中的作函數圖象的要求在新舊教材中并不一樣，舊教材對畫圖只是一帶而過，而新教材中讓學生反復作反比例函數的圖象，為下一步性質的探索打下良好的基礎。因為在學生進行函數的列表、描點作圖是活動中，就已經開始了對反比例函數性質的探索，而且通過對函數的三種表示方式的整和，逐步形成對函數概念的整體性認識。在舊教材中對反比例函數性質只是簡單觀察以后，由老師講解得到，但是在新教材中注重從操作、觀察、概括和交流這些數學活動中得到性質結論，從而逐步提高從函數圖象中獲取信息的能力。這也充分體現了重視獲取知識過程體驗的新課標的精神。

(1) 教學目標：進一步熟悉作函數圖象的主要步驟，會作反比例函數的圖象;體會函數三種方式的相互轉換，對函數進行認識上的整和;逐步提高從函數圖象中獲取知識的能力，探索并掌握反比例函數的主要性質。

(2) 重點：會作反比例函數的圖象;探索并掌握反比例函數的主要性質。

(3) 難點：探索并掌握反比例函數的主要性質。

2、對學情的分析

九年級學生在前面學習了一次函數之后，對函數有了一定的認識，雖然他們在小學已經接觸了反比例，但都處于淺顯的、膚淺的知識表面，這對于他們理解反比例函數的圖象與性質沒有多大的幫助，但由于本節課采用Z+Z智能教育平臺進行教學，比較形象，便于學生接受。

教學過程

一、憶一憶

師：同學們還記得我們在學習一次函數時，是怎么作出一次函數圖象的嗎?一次函數的圖象是什么圖形?

生：作一次函數的圖象要采用以下幾個步驟：(1)列表(2)描點(3)連線。

生乙：一次函數的圖象是一條直線。

師：大家說的很好，看來大家對過去的知識掌握的很牢固，那么同學們想一下，y=4/x 是什么函數?

生：反比例函數。

師：你們能作出它的圖象嗎?

生：可以。

點評：復習舊知識，讓學生感受到新舊知識的聯系，并為后面的作反比例函數的圖象做好準備。

二、作圖象，試比較

師：請填寫電腦上的表格，并開始在坐標紙上描點，連線。

師：再按照上述方法作y=-4/x的圖象。

(學生動手操作)

師：下面大家分小組討論：對照你們所作出的兩個函數圖象，找出它們的相同點與不同點。

(學生討論交流，教師參與)

師：討論結束，下面哪個小組的同學說說你們的看法?

生1：它們的圖象都是由兩支曲線組成的。

生2：y=4/x 的圖象的兩條曲線分布在一、三象限內，而y=-4/x 的圖象的兩支曲線分布在二、四象限內。

點評：這里讓學生自己上臺操作，既培養了學生的動手能力，又可以激發學生學好數學的興趣。

三、細觀察，找規律

師：大家都說得很好，下面我們一起觀察反比例函數 y=k/x的圖象，當k的發值生變化時，函數的圖象發生了怎樣的變化，并分小組討論有什么規律。

(展示圖象，讓學生觀察y=k/x 的圖象，按下動畫按鈕，在運動中觀察 值的變化與函數的圖象變化之間的關系，并與同學們充分討論)

師：請同學們談一談剛才討論的結果。

生：我發現函數圖象的變化與k 的值有關：當 k>0 時，在每一象限內，y隨 x的增大而減小，當 k<0 時，在每一象限內 ，y隨x 的增大而增大。

師：看來大家都經過了認真的思考和討論，對規律總結的也比較完整，下面我們一起把剛才兩個環節的知識點一起總結一下。

(1)反比例函數y=k/x的圖象是由兩支曲線所組成的。

(2)當 k>0時，兩支曲線分別在一、三象限;當k<0時，兩支曲線分別在二、四象限。

(3)當k>0 時，在每一象限內，y隨x的增大而減小，當k<0時，在每一象限內 ，y隨x 的增大而增大。

師：如果我們將反比例函數的.圖象繞原點旋轉180后，你會發現什么現象?這說明了什么問題?

(由學生在電腦上進行操作)

生：我發現旋轉后的圖象與原圖象完全重合了，這說明反比例函數的圖象是一個中心對稱圖形。

師：大家做得很好。那么，如果我們在圖象上任取A、B兩點，經過這兩點分別作 軸、 軸的垂線，與坐標軸圍成的矩形面積分別 為S1、S2，觀察兩個矩形面積的變化情況，并找出其中的變化規律。

題目：(1) 拖動k，使k變化，觀察k不斷變化過程中，矩形面積的變化情況，討論得出結論。

(2) 拖動函數上的點，觀察矩形面積的變化情況，討論得出結論。

生：我們發現，在同一個反比例函數中，不管k 值怎么變化，矩形的面積始終不變。

師：大家的觀察很仔細，總結得也很正確。

點評：在這個環節中，既讓學生動手操作，又讓他們分組交流，這樣既培養了他們的動手能力，又增強了他們的團結合作的意識。結論主要有學生來發現，體現了新課程理論的精神。

四、用規律，練一練

1、 課本137頁隨堂練習1

生：第一幅圖是 y=-2/x的圖象，因為在這里的 k<0，雙曲線應在第二、四象限。

2、 下列函數中，其圖象唯一、三象限的有哪幾個?在其圖象所在象限內， 的值隨 的增大而增大的有哪幾個?

(1) y=1/(2x)(2)y=0.3/x(3)y=10/x(4)y=-7/(100x)

生：其中(1)(2)(3)的圖象在一、三象限;(4)的圖象在每一象限內，y 隨x 的增大而增大。

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