高一立體幾何思想總結(推薦十三篇)

發布時間：2023-04-21

高一立體幾何思想總結(推薦十三篇)。

▲ 高一立體幾何思想總結

二十一世紀，我們進入了數字化信息時代。計算機技術的高速發展及計算機的大量普及給現代社會注入了新的活力，在探索具體學科素質教育的實施中，多媒體輔助教學已由開始時在優質課、示范課上的 “表演”，正式向實施素質教育的主陣地――課堂教學邁進，尤其是小學語文課堂教學。真可謂“舊時王榭堂前燕，飛入尋常百姓家”。這無疑給語文課堂教學改革注入了新鮮的血液，為改變傳統的注重認知、灌輸、封閉的語文課堂教學模式提供了新的思路，為建立新型的課堂教學模式奠定了基礎。然而，如果過多過濫運用多媒體教學，就會喧賓奪主，違背了多媒體 “輔助”教學的宗旨，使學生在課堂上走馬觀花，無意注意過多而導致課堂教學流于形式，不能由表及里，更談不上真正發揮學生的主體性。課件作為一種用來控制計算機實現教學功能的計算機軟件，應該以人為本，關愛教學雙方，充分考慮到學生和教師的主體和主導作用，既方便教師演示，又方便學生自學。

在設計課件時應注意哪些問題呢?

一、圍繞教學目的、內容設計，以解決教學重點、難點為切入口。

多媒體課件應用的目的是優化課堂教學結構，提高課堂教學效率，既要有利于教師的教，又要利于學生的學。所以首先關心的是利用某個課件進行教學是否有必要。

A、選取那些常規方法無法演示或不易演示、演示觀察不清的內容。例如教學小學語文第五冊《蜘蛛織網》一課時，學生對于蜘蛛織網的過程缺乏了解，這兒是學生認知理解的難點，可以制作蜘蛛織網的相關CAI課件（主要是動畫），再加上聲音的渲染，從空間概念上展示過程，讓小學生仿佛來到了蜘蛛織網的現場，學生看得清楚，聽得明白，溶入一種身臨其境的氛圍，教師稍加點撥，即可為學生突破難點。

B、選取課堂上用常規手段不能很好解決的問題，也就是解決教學重點、難點問題?！剁辍芬晃闹?，琥珀的形成既是課文的重點，又是理解的難點。利用多媒體視聽一體化的特點，借助CAI課件創設一種特殊的情境，再現當時的故事：松脂球形成經過清晰而具體地呈現在學生眼前，使學生如臨其境，如見其景，很容易地理解了課文重點部分。然后給一段時間讓學生自己進行歸納總結。學生容易得出四個必備條件：a.夏天，強烈的太陽光。b在松樹林里c.蜘蛛撲向蒼蠅，松脂下滴，正好將它們包裹。d松脂不斷下滴。由此進一步懂得了這些條件缺一不可的道理。文章的難點迎刃而解。

C、提供與教學相關的媒體信息，創造良好的教學環境（情景）、資源環境，擴大學生的知識面、信息源。

二、激發學生的學習興趣、引起求知欲望，愉快地學習。

課件設計時要充分體現多媒體計算機作為教學媒體的特點。利用文字、圖片、動畫等多種媒體，多感觀，多渠道地激發學生的學習興趣，促進學生對知識的內化。例如教學小學語文第八冊《海底世界》，作為內陸地區的.小孩子，他們對于海洋知識的探知欲是十分濃厚的，但極為有限的課本文字、插圖，學生的學習興趣不大，注意力難以集中。利用形、聲、色俱備的現代信息技術―― CAI課件，能立即抓住孩子的視聽，給學生的認知活動提供一個最佳的情緒背景。播放的聲音從“海面波濤澎湃”逐漸轉入到“再往下500米深”的一片靜謐；視頻圖像從“廣闊的海面”再到“閃爍的‘小星星’（有發光器官的深水魚）的深?！?，在極短的時間內，

▲ 高一立體幾何思想總結

立體幾何圖形折紙圖解：

將正方形紙四條邊，每邊折分成4等份；展開后，形成16個小方塊形，如圖1

折出兩條對角線印，展開后，再折成雙長方形，如圖1

右下角折向上一格，如圖1

打開。圖解，此時留下了一個數學中小于符號。

掀起左下角，折出左上角第2格對角線，如圖；

左上角第2格對角線的痕跡，如圖；

同樣方法折出左下邊第2格的.短斜線，

實線向外進行山折，波浪線向里面谷折；圖解：先將3與3谷折，字數多的2個小正方形，就會順其自然地折疊重合；

立起來，簡單調整，3個角就會集中在一個角端，如圖

將有蓋的、好玩的正立方體盒子就完成了

▲ 高一立體幾何思想總結

1.如圖所示，在四棱錐PABCD中，側面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，，M為PC上一點，且PA∥平面BDM.

(2)求平面ABCD與平面PBC所成的銳二面角的大小.

2.如圖，平面平面ABC，是等腰直角三角形，AC =BC= 4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD BA， , ，求直線CD和平面ODM所成角的正弦值.

3.如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD， ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點.

(2)若APB=ADB=60，求直線PA與平面PEH所成角的`正弦值.

4.如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，BAD=90，ACBD，BC=1，AD=AA1=3.

(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.

5.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點， AA1=AC=CB=22AB.

(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.

6.如圖，在圓錐PO中，已知PO=2，⊙O的直徑AB=2，C是的中點，D為AC的中點.

(2)求二面角B-PA-C的余弦值.

7.如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，點N是BC的中點，點M在CC1上.設二面角A1-DN-M的大小為.

(1)當=90時，求AM的長;

(2)當cos =66，求CM的長.

8.四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60.

(1)求AC1的長; (2)求BD1與AC夾角的余弦值.

▲ 高一立體幾何思想總結

1.有關平行與垂直(線線、線面及面面)的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計算角、與距離等)中不可缺少的內容，因此在主體幾何的總復習中，首先應從解決平行與垂直的有關問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規律--充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力。

2.判定兩個平面平行的方法：

(1)根據定義--證明兩平面沒有公共點;

(2)判定定理--證明一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面;

(3)證明兩平面同垂直于一條直線。

3.兩個平面平行的主要性質：

⑴由定義知：兩平行平面沒有公共點。

⑵由定義推得：兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面。

⑶兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那

么它們的交線平行。

⑷一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。

⑸夾在兩個平行平面間的平行線段相等。

⑹經過平面外一點只有一個平面和已知平面平行。

以上性質⑵、⑷、⑸、⑹在課文中雖未直接列為性質定理，但在解題過程中均可直接作為性質定理引用。

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新課標立體幾何常考證明題

1、已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點

（1）求證：EFGH是平行四邊形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H證明：在?ABD中，∵E,H分別是AB,AD的中點∴EH//BD,EH?同理，FG//BD,FG?

(2)90°30 °

考點：證平行（利用三角形中位線），異面直線所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EH?FG∴四邊形EFGH是平行四邊形。

22、如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中點。求證：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。E BC?AC?證明：（1）??CE?AB AE?BE?

同理，AD?BD???DE?AB AE?BE?B C 又∵CE?DE?E∴AB?平面CDE

（2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC，∴平面CDE?平面ABC

考點：線面垂直，面面垂直的判定

D3、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，求證： AC1//平面BDE。

證明：連接AC交BD于O，連接EO，∵E為AA1的中點，O為AC的中點 ∴EO為三角形A1AC的中位線 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE內，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考點：線面平行的判定

4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求證：AD?面SBC．證明：∵?ACB?90°?BC?AC

又SA?面ABC?SA?BC

?BC?面SAC?BC?AD

又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC考點：線面垂直的判定

9、如圖P是?ABC所在平面外一點，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中點，N是AB上的點，AN?3NB（1）求證：MN?AB；（2）當?APB?90，AB?2BC?4時，求MN的長。證明：（1）取PA的中點Q，連結MQ,NQ，∵M是PB的中點，M

∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB，∴MQ?平面PAB∴QN是MN在平面PAB內的射影，取 AB的中點D，連結 PD，∵PA?PB,∴C

PD?AB，又AN?3NB，∴BN?ND

N ∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂線定理得MN?AB B

（2）∵?APB?90，PA?PB,∴PD?AB?2，∴QN?1，∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ，且

MQ?BC?

1，∴MN?

2考點：三垂線定理

12、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E為BC的中點．

（1）求證：DE?平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角．證明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE ∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE

又PA?AE?A，?DE?平面PAE（2）?DPE為DP與平面PAE所成的角

在Rt?

PAD，PD?Rt?

DCE中，DE?在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?300 考點：線面垂直的判定,構造直角三角形

15、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF．∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．∵CD?平面CDF，∴CD?AB．又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD．考點：線面垂直的判定

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高考數學之立體幾何

高考立體幾何試題一般共有4道(選擇、填空題3道，解答題1道)，共計總分27分左右，考查的知識點在20個以內。選擇填空題考核立幾中的計算型問題，而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題，當然，二者均應以正確的空間想象為前提。隨著新的課程改革的進一步實施，立體幾何考題正朝著“多一點思考，少一點計算”的發展。從歷年的考題變化看，以簡單幾何體為載體的線面位置關系的論證，角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T話題。

知識整合

1.有關平行與垂直(線線、線面及面面)的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計算角、與距離等)中不可缺少的內容，因此在主體幾何的.總復習中，首先應從解決“平行與垂直”的有關問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規律--充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力。

2.判定兩個平面平行的方法：

(1)根據定義--證明兩平面沒有公共點;

(2)判定定理--證明一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面;

(3)證明兩平面同垂直于一條直線。

3.兩個平面平行的主要性質：

⑴由定義知：“兩平行平面沒有公共點”。

⑵由定義推得：“兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面。

⑶兩個平面平行的性質定理：”如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行“。

⑷一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。

⑸夾在兩個平行平面間的平行線段相等。

⑹經過平面外一點只有一個平面和已知平面平行。

以上性質⑵、⑷、⑸、⑹在課文中雖未直接列為”性質定理“，但在解題過程中均可直接作為性質定理引用。

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分析法證明不等式

已知非零向量a,b,a⊥b，求證|a|+|b|/|a+b|<=√2

∴|a+b|≠0.

原不等式等價于不等式：

|a|+|b|≤(√2)|a+b|

該不等式等價于不等式：

(|a|+|b|)≤[(√2)|a+b|].

整理即是：

【∵|a|=a. |b|=b. |a+b|=(a+b)=a+2ab+b

∵a，b是非零向量，

∴|a|≠0,且|b|≠0.

∴a+b>0.

推上去，可知原不等式成立。

作為數學題型的不等式證明問題和作為數學證明方法的分析法，兩者皆為中學數學的教學難點。本文僅就用分析法證明不等式這一問題稍作探討。

注:“本文中所涉及到的圖表、公式注解等形式請以PDF格式閱讀原文。”

就是在其兩邊同時除以根號a+根號b，就可以了。

首先要牢記一些我們常見的不等式。比如均值不等式，柯西不等式，還有琴深不等式(當然這些是翻譯的問題)

然后要學會用一些函數的方法，這是解不等式最常見的方法。分析法，綜合法，做減法，假設法等等這些事容易的。

在考試的時候方法最多的是用函數的.方法做，關鍵是找到函數的定義域，還有求出它的導函數。找到他的最小值，最大值。

一句話要靈活的用我們學到的知識解決問題。

這種方法最好，三部曲。你最好把它掌握好。

若正數a，b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是?

即，根號ab>=3，

故，ab>=9 (當且僅當a=b=3是取等號)。

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空間向量的引入豐富了立體幾何教學的內容，這主要體現在課程理念變化以及課程內容改變兩個方面。

新課程注重學習方式的改革，要求學生轉變單一的被動接受式學習，把學習過程中的發現、探究等認識活動凸顯出來，在教師的積極引導下實現學生自我的“再創造”。在立體幾何中引入空間向量正是適應新課程理念的表現，空間向量的出現為學生提供了解決問題的新途徑，融合了計算機技術與數學知識，直接利用向量的方式提出問題為學生解答立體幾何題目提供了新的解題方法。這就密切了數學知識與日常生活實際的聯系，加強了數學知識的實用性。同時，空間向量的引入，促進了學生數學應用意識的形成和發展，提高了學生的實踐能力。

空間向量作為一個獨立的知識體系納入教材當中，涵蓋了空間向量的定義和原理、線性運算、直角坐標運算、兩個向量的數量積、空間向量在立體幾何的應用等方面，這豐富了立體幾何的教學內容。

空間向量降低了學習的難度體現在向量的.特征上。一方面，向量是代數的，因此可以對它進行加、減、乘、除等運算，這就豐富了運算形式，也使抽象的概念有了具體的形式。以運算為載體，發揮空間想象能力，就可以對問題進行實際的運算、證明以及演繹。另一方面，向量又是幾何的，因此可以直接描述、想象、替代向量中點、線、面等對象，并可觀察到各研究對象之間的基本關系。這就為一些計算能力比較強但空間想象能力較弱的學生解題提供了新的出路，降低了其學習的難度。例如，證明以⊙O的直徑AB為一邊的圓內接△ABC是直角三角形。（圖略，也就是求證∠BAC是直角）

因此AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形。

三、空間向量的引入降低了學生的空間想象力

空間向量的引入，為學生解答立體幾何問題提供了新的方法。但是也有不少人認為，空間向量的引入削弱了學生的邏輯思維能力，降低了學生的空間想象能力?？臻g向量的引入把幾何問題轉化為代數問題，密切了代數與幾何的關系，豐富了學生的思維方式，但是容易造成空間向量就是“萬能”的思想，很多學生完全放棄了傳統的綜合法，試圖通過空間向量的方法來解決一切立體幾何問題。運用空間向量來解決數學問題這一思路的推廣還需要注意從以下幾方面來努力：

興趣和好奇心是培養和激發學生積極性的內在動力。這就需要教師從學生的年齡特征和心理特點出發，篩選出與該模式相適應的教學內容。具體來說，在空間向量的學習中，可采取啟發式和探究式。教師要充分發揮學生的主體作用，教師主要扮演引導者和促進者的角色，從而培養學生自主發現問題、自主解決問題、探索問題的能力。當然，對于一些較難的知識，教師要引導學生對原有知識的復習，提高知識的概括化水平，建立知識的網絡化，促進學生學習的遷移。教師應該鼓勵學生動手，調動學生的主動性和積極性，引導他們通過獨立思考、積極探索，生動活潑的學習，自覺掌握科學知識，提高分析問題和解決問題的能力，鼓勵學生將知識創造性地運用于實際。如，在學習“空間向量”這一概念時，教師可以利用學生原有知識復習近平面向量和立體幾何的基礎知識。如，教師可以設置以下問題：（1）空間兩條直線的位置關系是：平行、相交、異面，空間兩個向量的關系？（2）空間兩條平行直線確定一個平面，空間中兩個平行向量確定一個平面？（3）空間兩條相交直線確定一個平面，空間中兩個不平行向量確定一個平面？再如這一例題，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是邊長為4的等邊三角形，B1B=2，求異面直線BC1和A1C所成的角（圖略）。教師可以幫助學生建立空間直角坐標系，教師可以引導學生作出BC和B1C1的中點M和N，然后利用底面三角形的高MA、側棱MN以及底面三角形的邊對MC這三條互相垂直的直線來建立空間直角坐標系，通過設置

問題情境，引導學生一步步地將空間向量運用于具體的數學習題中。

雖然空間向量確實在解決立體幾何問題時具有獨特的優勢，但是綜合法的運用也至關重要，綜合法對于培養學生思考問題的習慣、提高空間想象力以及邏輯思維能力有很大的影響。因此，在使用空間向量時，首先要注重一題多解。要教授學生不能一味地以解決問題為目的，而要鼓勵學生從多個角度，采用多種方式來解決問題，培養一題多解的思維方式，舉一反三，靈活多變。其次，教師在教學中要注意對空間向量法與綜合法教學的平衡性，要精心

更為便利的立體幾何習題，增強學生運用綜合法思考問題的積極性，讓學生主動使用綜合法來解決立體幾何問題，通過一題多解的方式實現訓練學生空間想象能力和邏輯思維能力的目的。

在立體幾何中引入空間向量這一內容是新課程改革的必然趨勢?？臻g向量引入立體幾何教學中，對于擺脫“形到形”這一傳統綜合法，豐富解題方式具有重要作用，在一定程度上降低了學生的學習壓力，但是在運用空間向量時，也不能一味地突出其優勢，要重視其缺點，與綜合法并用，促進學生的全面發展。

參考文獻：

［1］黃長春。利用空間向量方法解決立體幾何的問題［J］。數學學習與研究，.

［2］劉福亮。向量法在立體幾何解題中的妙用［J］。數學學習與研究，.

▲ 高一立體幾何思想總結

1.棱柱、棱錐、棱(圓)臺的本質特征

⑴棱柱：①有兩個互相平行的面(即底面平行且全等)，②其余各面(即側面)每相鄰兩個面的公共邊都互相平行(即側棱都平行且相等)。

⑵棱錐：①有一個面(即底面)是多邊形，②其余各面(即側面)是有一個公共頂點的三角形。

⑶棱臺：①每條側棱延長后交于同一點，②兩底面是平行且相似的多邊形。

⑷圓臺：①平行于底面的截面都是圓，②過軸的截面都是全等的等腰梯形，③母線長都相等，每條母線延長后都與軸交于同一點。

2.圓柱、圓錐、圓臺的展開圖、表面積和體積的計算公式

3.線線平行常用方法總結

(1)定義：在同一平面內沒有公共點的兩條直線是平行直線。

(2)公理：在空間中平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

(3)線面平行的性質：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行。

(4)線面垂直的性質：如果兩條直線同時垂直于同一平面，那么兩直線平行。

(5)面面平行的性質：若兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么兩條交線平行。

4.線面平行的判定方法。

(1)定義：直線和平面沒有公共點。

(2)判定定理：若不在平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

(3)面面平行的性質：兩個平面平行，其中一個平面內的任何一條直線必平行于另一個平面。

(4)線面垂直的性質：平面外于已知平面的垂線垂直的直線平行于已知平面。

5.判定兩平面平行的方法。

(1)依定義采用反證法;

(2)利用判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

(3)利用判定定理的推論：如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面內的兩條直線，則這兩平面平行。

(4)垂直于同一條直線的兩個平面平行。

(5)平行于同一個平面的兩個平面平行。

6.證明線線垂直的方法

(1)利用定義。

(2)線面垂直的性質：如果一條直線垂直于這個平面，那么這條直線垂直于這個平面的任何一條直線。

7.證明線面垂直的方法

(1)線面垂直的定義。

(2)線面垂直的判定定理1：如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，那么，這條直線與這個平面垂直。

(3)線面垂直的判定定理2：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條也垂直于平面。

(4)面面垂直的性質：如果兩個平面相互垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

(5)若一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，那么這條直線必定垂直于另一個平面。

8.判定兩個平面垂直的方法

(1)利用定義。

(2)判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直。

9.其他定理

夾在兩平行平面之間的平行線段相等。

經過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面平行。

兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例。

10.空間直線和平面的位置關系

直線與平面相交、直線在平面內、直線與平面平行

直線在平面外——直線和平面相交或平行，記作aα包括a∩α=A和a∥α

11.空間平面與平面的位置關系

垂直于同一個平面的所有直線(即平面的垂線)互相平行;

垂直于同一條直線的所有平面(即直線的垂面)互相平行。

▲ 高一立體幾何思想總結

立體幾何訓練題050

大綱理數6.G5、G11[2011·全國卷] 已知直二面角α－l－β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足．點B∈β，BD⊥l，D為垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，則D到平面ABC的距離等于()

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3A.B.33

C.D．1 3

大綱理數6.G5、G11[2011·全國卷] C 【解析】∵α⊥β，AC⊥l，∴AC⊥β，則平面ABC⊥β，在平面β內過D作DE⊥BC，則DE⊥平面ABC，DE即為D到平面ABC的距離，在△DBC中，運用等面積法得DE，故選C.3大綱理數16.G11[2011·全國卷] 已知點E、F分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于________．

大綱理數16.G11 [2011·全國卷] 【解析】法一：在平面BC1內延長FE與CB相3

交于G，過B作BH垂直AG，則EH⊥AG，故∠BHE是平面AEF與平面ABC所成二面角

aBE的平面角．設正方體的棱長為a，可得BE，BG＝a，所以BH＝，則tan∠BHE＝32BHa

32＝32a2

法二：設正方體的邊長為3，建立以B1A1為x軸，B1C1為y軸，B1B為z軸的空間直角

→→坐標系，則A(3,0,3)，E(0,0,2)，F(0,3,1)，則EA＝(3,0,1)，EF＝(0,3，－1)，設平面AFE的法

→→向量為n＝(x，y，z)，則n⊥EA，n⊥EF，即3x＋z＝0且3y－z＝0，取z＝3，則x＝－1，y

＝1，所以n＝(－1,1,3)，又平面ABC的法向量為m＝(0,0,3)，所以面AEF與面ABC所成的m·n3二面角的余弦值為cosθ＝，∴sinθ＝1－?3?2＝，所以tanθ＝.?11|m||n|11113

▲ 高一立體幾何思想總結

1.下列正方體或正四面體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的一個圖是()

A 正解：D

錯因：空間感不強.2.如果a,b是異面直線，P是不在a,b上的任意一點，下列四個結論：（1）過P一定可作直線L與a,b都相交；（2）過P一定可作直線L與a,b都垂直；（3）過P一定可作平面（4）過P一定可作直線L與a,b都平行，其中正確的結論有（）?與a,b都平行；

A、0個B、1個C、2個D、3個正解：B.(2)正確

錯解：C 認為（1）（3）對D 認為（1）（2）（3）對

錯因：認為（2）錯誤的同學，對空間兩條直線垂直理解不深刻，認為作的直線應該與a,b 都垂直相交；而認為（1）（3）對的同學，是因為設能借助于兩個平行平面襯托從而對問題的分析欠嚴密.正解：C

錯因：將平面圖形折成空間圖形后線面位置關系理不清，易瞎猜.3.判斷題：若兩個平面互相垂直，過其中一個平面內一點作它們的交線的垂線，則此直線

垂直于另一個平面.（）正解：本題不對.錯因：未能認真審題或空間想象力不夠，忽略過該點向平面外作垂線的情況.4.?和?是兩個不重合的平面，在下列條件中可判定平面?和?平行的是（）.A．?和?都垂直于平面g

B．?內不共線的三點到?的距離相等 C．l,m是平面?內的直線且l//?,m//?

D．l,m是兩條異面直線且l//?,m//?,m//?,l//? 正解：D

對于A,?,?可平行也可相交；對于B，三個點可在?平面同側或異側；對于C,l,m在平面? 內可平行，可相交.對于D正確證明如下：過直線l,m分別作平面與平面?,?相交，設交線分別為l1,m1與 l2,m2，由已知l//?,l//?得l//l1,l//l2，從而l1//l2，則l1//?，同理m1//?，S

Q RS B

Q PC

R P DQ

??//?。

錯解：B往往只考慮距離相等，不考慮兩側.5． △ABC的BC邊上的高線為AD，BD=a，CD=b，將△ABC沿AD折成大小為q的二

面角B-AD-C，若cos??

ab，則三棱錐A-BCD的側面三角形ABC是（）

A、銳角三角形B、鈍角三角形

C、直角三角形D、形狀與a,b的值有關的三角形

6.底面是正三角形，且每個側面是等腰三角形的三棱錐是（）

A、一定是正三棱錐C、不是斜三棱錐正解： D

錯因：此是正三棱錐的性質，但很多學生憑感覺認為如果側面是等腰三角形，則側棱長相等，所以一定是正三棱錐，事實上，只須考察一個正三角形繞其一邊抬起后所構成的三棱錐就知道應選D

7.有一棱長為a的正方體骨架，其內放置一氣球，使其充氣且盡可能地大（仍保持為球的形狀），則氣球表面積的最大值為__________.正解：2?a2.錯解：學生認為球最大時為正方體的內切球，所以球的直徑為a，球的表面積為?a2.這里學生未能弄清正方體骨架是一個空架子，球最大時與正方體的各棱相切，直徑應為.B、一定是正四面體D、可能是斜三棱錐

8.過球面上兩已知點可以作的大圓個數是_________個.正解： 1個或無數個.錯解：1個.錯誤原因是沒有注意球面上兩已知點與球心共線的特殊情況，可作無數個.9.自半徑為R的球面上一點P引球的兩兩垂直的弦PA、PB、PC,則

PA?PB

?PC=_____。

正解:4R2,可將PA,PB,PC看成是球內接長方體的三邊,則PA?PB?PC應是長方體對角線的平方,即球直徑的平方.10．一個直角三角形的兩條直角邊長為2和4，沿斜邊高線折成直二面角，則兩直角邊所

夾角的余弦值為_____.正解：

.設AB==

BD=

AD=-=

?CD?AB,?BD?CD,AD?CD ??ADB為二面角B-CD-A的平面角，??ADB?

?AB?(5)?（85

5)?

20?32025